Das mathematische Pendel ist eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung für [math]x=x(t)[/math]: [math]x''+sin(x)=0[/math].[br]Im Unterschied zum physikalischen Pendel enthält es keinen Dämpfungsterm [math]x'(t)[/math].[br]In vielen Fällen intersiert man sich nicht für die eigentliche Lösung der Differentialgleichung sondern für die Lösung der Phasendifferentialgleichung. Diese ergibt sich daraus, dass die Dgl. 2. Odnung äquivalent zum System 1. Ordnung ([math]x=x(t),y=y(t)[/math]): [math]x'=y[/math] und [math]y'=-sin(x)[/math] .[br]Die dazugehörige Phasendifferentialgleichung lautet [math]y'(x)=-sin(x)/y[/math] .[br]Die Menge aller Lösungen wird Phasenportrait genannt.[br]Die Lösung gibt in jedem Punkt die Auslenkung (Ort [math]x[/math]) und die Geschwindigkeit[math]y=x'[/math] an.[br]Die linearisierte Differentialgleichung ergibt sich, wenn man für kleine Auslenkungen [math]x[/math] wegen [math]sin(x)\sim x[/math] gerade [math]sin(x)[/math] durch [math]x[/math] ersetzt.

Die Lösungen des linearisiteren Problems sind konzentrische Kreise, deren Radius von der Intergrationskonstante C bzw. der Energie E abhängt.[br]Die Lösung der Phasendifferentialgleichung sind für kleine Energie E geschlossene Kurven, für hohe Energie sind sie nicht mehr geschlossen.[br]Die Bereiche werden durch die Separatrix voneinander getrennt. D.h. die Separatrix trennt Schwinungen von Rotationen.