Aires des figures usuelles
GéoGebraBook en cours d'élaboration relatif au calcul des aires des figures géométriques usuelles rencontrées dans l'enseignement secondaire.
Table of Contents
- Introduction
- Aire d'un rectangle
- Unités d'aire
- Polygones
- Aire d'un Parallélogramme
- Aire d'un Triangle
- Aire d'un triangle à partir des côtés
- Aire d'un Trapèze
- Cercles
- Aire d'un Cercle
Aire d'un rectangle
Pavage d'une surface rectangulaire
Le nombre de carreaux pour paver un rectangle est [b]le produit[/b] des nombre de carreaux nécessaires à couvrir deux cotés adjacents du rectangle.[br][br]Ainsi si j'ai besoin de 2 carreaux pour couvrir le petit coté d'un rectangle et de 3 carreaux pour en couvrir son grand coté, le nombre total de carreaux nécessaires pour couvrir ce rectangle est [math]3\times2=6[/math].[br][br]Plus généralement, si j'ai besoin de [math]n[/math] carreaux pour couvrir un coté, et de [math]m[/math] carreaux pour couvrir le coté adjacent, le nombre total de carreaux nécessaires à couvrir le rectangle est :[br][br][math]N_{Carreaux}\left(n,m\right)=n\times m[/math]
Aire d'un rectangle
Par extension de la notion de pavage, nous pouvons définir l'aire d'une surface rectangulaire comme étant le produit des longueurs de deux cotés adjacents. Ainsi si les longueurs de deux cotés adjacents du rectangle considéré sont [math]a[/math] et [math]b[/math], nous avons :[br][br][math]Aire_{Rectangle}\left(a,b\right)=a\times b[/math]
Aire d'un Parallélogramme
L'aire d'un parallélogramme se détermine aisément en construisant à partir de celui-ci un rectangle de même surface.
L'aire du parallélogramme [math]ABCD[/math] est donc égale à celle du rectangle tracé en rouge.[br][br]L'aire de [math]ABCD[/math] et du rectangle peut s'écrire :[br][br][math]Aire\left(ABCD\right)=BC\times AH[/math][br][br]L'aire d'un parallélogramme est donc : [math]Aire(Parallélogramme)=Base\times Hauteur[/math]
Cela peut se montrer d'une autre façon en découpant un rectangle dans le sens de la hauteur en "tranches rectangulaires" d'égales épaisseurs que l'on fait glisser pour les aligner sur le côté "oblique" du parallélogramme.[br]La somme des aires des différentes tranches reste égale à celle du rectangle d'origine.[br]Plus nous augmentons le nombre de tranches, plus celles-ci recouvrent précisément le parallélogramme.
Conséquence
L'aire d'un parallélogramme ne varie pas lorsque l'on le "déforme" sans modifier sa hauteur.
Aire d'un Cercle
L'aire d'un cercle est proportionnelle à l'aire d'un carré dont le côté a pour mesure son rayon.
Le rapport de proportionnalité entre l'aire d'un cercle et l'aire du carré dont le côté a même mesure que le rayon est le nombre [math]\pi[/math] (Pi).[br][br]Si nous appelons [math]r[/math] le rayon du cercle nous avons :[br][br][math]Aire\left(Cercle\right)=\pi\times r\times r=\pi r^2[/math]
[math]\pi[/math] est un nombre qui n'a pas d'écriture décimale exacte : il comporte un nombre infini de décimales sans qu'une séquence se répète.[br][br]Les calculatrices en donnent une valeur approchée.[br][br][math]\pi\simeq 3,14159[/math][br]