Spurpunkte einer Ebenenschar
Im folgenden geht es zunächst um die Ebenenschar
Ea: 3ax+2ay-5z=10a
Im Applett sind die x-Achse rot und y-Achse grün; mit der rechten Maustaste kannst du es drehen.
Eine Veränderung beim Schieberegler bewirkt eine Veränderung des Parameters a in der Ebengleichung.
So ergibt z.B. a= -2: E-2: -6x-4y-5z=-20.
Frage 1:
Schau dir das Applet an und nutze den Schieberegler - welche räumliche Lage wird durch eine Änderung des Parameters a bei allen Eben verändert?
Frage 2:
Aufgabe: Weise nach, dass sich die Ebene um eine Gerade dreht und stelle die Gleichung der Geraden auf.
Überlege dir einen Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe!
Umsetzung des Ansatzes:
1.) Berechnung der Spurpunkte.
2.) Aufstellen der Geradengleichung durch die zwei Spurpunkte auf der x- und y-Achse.
Abschließende Lösung der Aufgabe:
Weise zusammenfassend argumentativ nach, dass sich die Ebene um eine Gerade dreht.
Verlagerung des Standpunktes:
Schau dir noch einmal genau die Gleichung der Ebenenschar an:
Ea: 3x+2y-z=10.
Es ist auch möglich auf eine anderen Weise als über die Spurpunkte zu begründen, dass man auf den ersen Blick sehen kann, dass sich diese Ebene bei einer Veränderung des Parameters a um eine Achse dreht.
Tipp: Schau dir die Koordinaten des Normalenvektors an!
Im folgenden Applet siehst du nur den Normalenvektor der Ebene.
Wie bereits gesagt, hängt ja nur seine z-Koordinate von a ab.
Du kannst also mit dem Schieberegler schauen, was passiert, wenn du die z-Koordinate eines Normalenvektors änderst - betrachte dazu die Spur des Vektors!
Du kannst die Ansicht drehen, wenn du die rechte Maustaste gedrückt hälst.
Praktische Übung:
Nimm nun mal ein kleines Heft/ Handy oder so, das dir als Modell einer Ebene dient. Suche dir einen Stift, den du senkrecht auf der Ebene als Normalenvektor festhälst.
Suche dir nun ein senkrechte Linie im Raum (Türrahmen/ Tischbein/ Faden...) und bewege die Spitze des Stiftes (also des Normalenvektors) entlang dieser Linie.
Achtung: Der Normalenvektor wird dabei immer länger/ kürzer. (schau noch einmal in das Applett?!)
Dies liegt daran, dass er ja durch die Änderung des Parameters länger/ kürzer wird.
Du wirst sehen: die Ebene dreht sich um eine Achse ;-)
Jetzt gehen wir zu einem anderen Beispiel über.
Du sollst eine Ebenenschar konstruieren, die sich um eine andere Gerade dreht als die gerade betrachtete.
Stell dir nun eine Ebenenschar vor, die sich um eine Gerade dreht, die durch fixierte Spurpunkte auf der x- und z-Achse liegen.
Hilfestellung:
Wenn es hilft, nutze deine drei Finger, um die drei Achsen darzustellen, trage mit der anderen Hand die Punkte ein und versuche dir dann vorzustellen, wie sich die Ebene dreht.
Die Ebene sieht dann zum Beispiel so aus:
Frage 1:
Stelle die Gleichung einer Ebeneschar auf, die so eine Ebene wie die obere beschreibt!
(Also eine Gleichung einer Ebenenschar, bei der sich alle Ebenen um eine Gerade drehen, deren Spurpunkte auf der x-Achse und z-Achse liegen).
FRAGE 3 - Verallgemeinerung!
Schau dir noch einmal beide Beispiele an und verallgemeinere:
Wenn alle Ebenen einer Schar sich um eine Gerade als Achse drehen sollen:
- Wie viele Parameter darf die Ebenengleichung haben?
- Wo müssen diese Parameter/ wo muss dieser eine Parameter platziert sein?
Mit dem folgenden Applett kannst du dir Verallgemeinerung auch noch einmal angucken!
Die oberen drei Schieberegler verändern jeweils unabhängig voneinander drei Parameter vor der
x- und y- und z- Koordinate des Normalenvektors.
Mit dem unteren Schieberegler kannst du das d der Koordinatengleichung verändern.
Frage 4
Auf welchen Achsen sind die Spurpunkte der folgenden Ebenschar fixiert:
Ea= 2ax-3y-7z=3
Und wie geht es weiter?
Bestimmt fallen dir jetzt noch eigene weiterführende Fragestellungen ein.
Wenn du Lust hast, diesen nachzugehen - spreche mich einach im Unterricht an!