Spurpunkte einer Ebenenschar

Im folgenden geht es zunächst um die Ebenenschar[br]E[sub]a[/sub]: 3ax+2ay-5z=10a[br]Im Applett sind die x-Achse rot und y-Achse grün; mit der rechten Maustaste kannst du es drehen.[br]Eine Veränderung beim Schieberegler bewirkt eine Veränderung des Parameters a in der Ebengleichung.[br]So ergibt z.B. a= -2: E[sub]-2[/sub]: -6x-4y-5z=-20.
Frage 1:
Schau dir das Applet an und nutze den Schieberegler - welche räumliche Lage wird durch eine Änderung des Parameters a bei allen Eben verändert?
Frage 2:
Aufgabe: Weise nach, dass sich die Ebene um eine Gerade dreht und stelle die Gleichung der Geraden auf.[br]Überlege dir einen Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe!
Umsetzung des Ansatzes:
1.) Berechnung der Spurpunkte. [br]2.) Aufstellen der Geradengleichung durch die zwei Spurpunkte auf der x- und y-Achse.
Abschließende Lösung der Aufgabe:
Weise zusammenfassend argumentativ nach, dass sich die Ebene um eine Gerade dreht.
Verlagerung des Standpunktes:
Schau dir noch einmal genau die Gleichung der Ebenenschar an: [br][br]E[sub]a[/sub]: 3x+2y-[math]\frac{5}{a}[/math]z=10.[br][br]Es ist auch möglich auf eine anderen Weise als über die Spurpunkte zu begründen, dass man auf den ersen Blick sehen kann, dass sich diese Ebene bei einer Veränderung des Parameters a um eine Achse dreht.[br][br]Tipp: Schau dir die Koordinaten des Normalenvektors an!
Im folgenden Applet siehst du nur den Normalenvektor der Ebene.[br]Wie bereits gesagt, hängt ja nur seine z-Koordinate von a ab.[br]Du kannst also mit dem Schieberegler schauen, was passiert, wenn du die z-Koordinate eines Normalenvektors änderst - betrachte dazu die Spur des Vektors![br]Du kannst die Ansicht drehen, wenn du die rechte Maustaste gedrückt hälst.
[u][b]Praktische Übung:[/b][/u][br]Nimm nun mal ein kleines Heft/ Handy oder so, das dir als Modell einer Ebene dient. Suche dir einen Stift, den du senkrecht auf der Ebene als Normalenvektor festhälst.[br]Suche dir nun ein senkrechte Linie im Raum (Türrahmen/ Tischbein/ Faden...) und bewege die Spitze des Stiftes (also des Normalenvektors) entlang dieser Linie.[br]Achtung: Der Normalenvektor wird dabei immer länger/ kürzer. (schau noch einmal in das Applett?!) [br]Dies liegt daran, dass er ja durch die Änderung des Parameters länger/ kürzer wird.[br][br]Du wirst sehen: die Ebene dreht sich um eine Achse ;-)
Jetzt gehen wir zu einem anderen Beispiel über.[br]Du sollst eine Ebenenschar konstruieren, die sich um eine andere Gerade dreht als die gerade betrachtete. [br][b]Stell dir[/b] nun eine Ebenenschar [b]vor[/b], die sich um eine Gerade dreht, die durch fixierte Spurpunkte auf der x- und z-Achse liegen. [br][b][br]Hilfestellung: [/b][br]Wenn es hilft, nutze deine drei Finger, um die drei Achsen darzustellen, trage mit der anderen Hand die Punkte ein und versuche dir dann vorzustellen, wie sich die Ebene dreht.[br]
Die Ebene sieht dann zum Beispiel so aus:
Frage 1:
Stelle die Gleichung einer Ebeneschar auf, die so eine Ebene wie die obere beschreibt![br](Also eine Gleichung einer Ebenenschar, bei der sich alle Ebenen um eine Gerade drehen, deren Spurpunkte auf der x-Achse und z-Achse liegen).
FRAGE 3 - Verallgemeinerung!
Schau dir noch einmal beide Beispiele an und verallgemeinere:[br]Wenn alle Ebenen einer Schar sich um eine Gerade als Achse drehen sollen:[br][list][*]Wie viele Parameter darf die Ebenengleichung haben? [br][/*][*]Wo müssen diese Parameter/ wo muss dieser eine Parameter platziert sein? [br][/*][/list]
Mit dem folgenden Applett kannst du dir Verallgemeinerung auch noch einmal angucken![br]Die oberen drei Schieberegler verändern jeweils unabhängig voneinander drei Parameter vor der[br]x- und y- und z- Koordinate des Normalenvektors.[br]Mit dem unteren Schieberegler kannst du das d der Koordinatengleichung verändern.
Frage 4
Auf welchen Achsen sind die Spurpunkte der folgenden Ebenschar fixiert:[br][br]E[sub]a[/sub]= 2ax-3y-7z=3
Und wie geht es weiter?
Bestimmt fallen dir jetzt noch eigene weiterführende Fragestellungen ein.[br]Wenn du Lust hast, diesen nachzugehen - spreche mich einach im Unterricht an!
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– Reinhard, Peaceman

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