La funzione esponenziale e logaritmica (By Mauro Lo Fermo)
Table of Contents
- Definizione di funzione esponenziale
- Definizione di funzione esponenziale
- Grafico funzione esponenziale con 0<a<1
- Grafico funzione esponenziale caso a>1
- Equazioni esponenziali
- Proprietà degli esponenti
- Risoluzione di equazioni esponenziali
- Equazioni esponenziali elementari del 1° e 2° tipo
- Equazioni sotto forma di polinomi P(a^x )=0 o riconducibili a quelle elementari mediante sostituzione
- Definizione di funzione logaritmica
- Definizione di logaritmo in base a di b
- Grafico della funzione logaritmo
- Equazioni logaritmiche
- Proprietà dei logaritmi
- Le equazioni logaritmiche
Definizione di funzione esponenziale
Chiamiamo [b]funzione esponenziale[/b] (elementare) di[b] base [/b][i]a[/i], con[i] a [/i]numero positivo diverso da 1, la funzione definita da un'equazione della forma:[br][math]y=a^x[/math] con [math]a>0[/math] e [math]a\ne1[/math] mentre [math]x\in\mathbb{R}[/math][br][br]Alcuni esempi di funzioni esponenziali sono i seguenti:[br][math]y=2^x[/math] oppure [math]y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-3x}[/math][br]Nei due grafici che seguiranno y sarà sostituito da [math]f\left(x\right)[/math]: [math]f\left(x\right)=a^x[/math]
Approfondimento 1 - Perchè la base a non puo essere negativa?
Perché se [math]a<0[/math] alcune proprietà sugli esponenti sarebbero in conflitto con l'ipotesi che [math]x\in\mathbb{R}[/math].[br]Pensa a questo esempio di funzione esponenziale con base negativa ed esponente razionale: [br][math]\left(-2\right)^{\frac{1}{2}}[/math] che è uguale a [math]\sqrt{-2}[/math] che non esiste in [math]\mathbb{R}[/math].
Approfondimento 2 - Perchè la base a deve essere diversa da 1?
Proprietà degli esponenti
Definizione di logaritmo in base a di b
Dati due numeri [b]reali e positivi [math]a[/math] [/b]e [math]b[/math], si chiama logaritmo in [b]base a[/b] con [b]argomento b[/b], e si indica con [math]log_ab[/math], quel numero reale che dato come esponente alla base [math]a[/math] mi permette di ottenere b.[br]Schematicamente:[br][math]log_ab=x[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]a^x=b[/math][br][br]Le calcolatrici solitamente calcolano i logaritmi in due basi:[br]1. in base 10 detto[b] logaritmo decimale o di Briggs[/b] per cui [math]log_{10}5=log5[/math];[br]2. in base [math]e[/math] detto [b]logaritmo naturale o di Nepero[/b] per cui [math]log_e5=ln5[/math] ([i]dove e=2,71828...numero irrazionale)[/i]
Proprietà dei logaritmi
[br]