Die beiden auf [math]\large\mathcal{ G}[/math] erklärten quadratischen Formen [math]\mathcal{P}[/math] und [math]\left\langle\,,\right\rangle_2[/math] sind nicht ausgeartet. Daher gibt es eine bezüglich [math]\mathcal{P}[/math] selbstadjungierte lineare Abbildung [math]\mathbf I[/math] , welche zwischen den Formen vermittelt:[br]     [math]\mathcal{P}\left(\mathbf I\mathbf \vec{g}_1,\mathbf \vec{g}_2\right)=\mathcal{P}\left(\mathbf \vec{g}_1,\mathbf I\mathbf \vec{g}_2\right)=\left\langle\mathbf \vec{g}_1,\mathbf \vec{g}_2\right\rangle_2\mbox{ für alle }\mathbf \vec{g}_1,\mathbf \vec{g}_2 \in\large{\mathbf\mathcal{ G}}[/math] [br]Durch die Polarität [math]\mathbf I[/math] wird [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math] zu einem [i][b]komplexen Vektorraum[/b][/i].[br]Zunächst gilt nämlich:[br][br]     [math]\mathbf I^2=-\mathbf{id}[/math] [br][br][i]Begründung:[/i] Für eine positiv orientierte normierte Basis [math]a_0,\,a_1,\,a_2,\,a_3[/math] von [math]\mathbf{V_4}[/math] zur Signatur (-,+,+,+) sind die Geradenvektoren [math]a_1\wedge a_2,\,a_0\wedge a_3;\,\,a_2\wedge a_3,\,a_0\wedge a_1;\,\,a_3\wedge a_1,\,a_0\wedge a_2[/math] eine Basis von [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math]. [br]Per definitionem gilt für alle [math]x,y\in \mathbf{V_4}[/math][br]   [math]\mathcal{P}\left(\mathbf I a_1\wedge a_2,\,x\wedge y\right)=\left\langle a_1\wedge a_2,\,x\wedge y\right\rangle_2=\left|\begin{matrix}\left\langle a_1,x\right\rangle\left\langle a_1,y\right\rangle\\\left\langle a_2,x\right\rangle\left\langle a_2,y\right\rangle\end{matrix}\right| [/math][br]Stellt man [math]\mathbf Ia_1\wedge a_2[/math] als Linearkombination der Basisvektoren dar und setzt man für [math]x\wedge y[/math] die Vektoren der Basis ein, so ergibt sich [math]\mathbf I a_1\wedge a_2=a_0\wedge a_3[/math] und auf dieselbe Weise  [math]\mathbf I a_0\wedge a_3=-a_1\wedge a_2[/math]. [br]Mit den übrigen Paaren verfahre man ebenso.[br][br]Durch die [i][b]komplexe Skalarmultiplikation[/b][/i][br][br] [math]z\cdot \mathbf\vec{g}:=\alpha\cdot \mathbf\vec{g}+\beta\cdot \mathbf I\mathbf\vec{g}\mbox{ für }z=\alpha+i\beta\in\mathbb{C}[/math] [br][br]wird [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math] zu einem komplexen Vektorraum der Dimension 3.[br][br]Darüberhinaus lassen sich die beiden auf [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math] gegebenen reellen Formen zu einer[i][b] komplexen symmetrischen Bilinearform[/b][/i] [math]\bullet[/math] zusammenfassen: es sei definiert[br][br]  [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\left(z\right):=\left\langle \mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right\rangle_2+i\cdot\mathcal{P}\left( \mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2\right)[/math][br][br][math]\mathbf I[/math] - und damit die Multiplikation mit [math]i[/math] ist selbstadjungiert auch bezüglich [math]\left\langle\,,\right\rangle_2[/math], daraus folgt die Symmetrie und Bilinearität der quadratischen Form [math]\bullet[/math].[br][right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/right]