三角関数の公式

Bunryu Kamimura, Mar 21, 2017

三角関数の公式は、図を使って三角関数を使いながら、その考え方に慣れるのが一番いい。 そして、自分で作図をしながら、作りだしていくのが一番いい。 その手助けのためのアプレット。いずれにしても自分で作ってみてください。 さて、ギリシャの天文学者ヒッパルコス（ＢＣ１６０～１２５）は天文に用いるために三角法を作りました。 ６０進法を導入したり、正弦表も作成しました。 それらの成果はイスラムで発展し、後にヨーロッパへ入ったのが三角法の歴史です。

Table of Contents

  1. 三角関数のグラフ
    1. sinとcosの定義
    2. 三角関数のグラフ
    3. ピタゴラスの定理
  2. 加法定理を導く
    1. Ptolemy's Theorem for Cyclic Quadrilaterals
    2. プトレミーの定理
    3. 加法定理を導く
    4. 加法定理（cos）
    5. 加法定理（tan）
    6. tanの加法定理その２
    7. 三角関数の倍角
    8. sinの微分
    9. （sinθ）’＝cosθ
    10. 半角公式
    11. 倍角と半角の関係
    12. 倍角と半角
  3. 正弦定理
    1. 正弦定理の発見
    2. 正弦定理
    3. 外接円の半径
    4. カルノーの定理
  4. 余弦定理
    1. 余弦定理の発見
    2. 余弦定理の発見２
    3. 余弦定理
    4. 余弦定理Cosine theorem
    5. 余弦定理から内積へ
    6. 中線定理
    7. ピタゴラスの拡張定理の証明
    8. 頂垂線
  5. ヘロンの公式
    1. ヘロンの公式
    2. Brahmaguptaの定理

1.

三角関数のグラフ

三角法は直角三角形に関する計算方法です。 だからピタゴラスの定理とは切っても切れない関係があります。

  • 1. sinとcosの定義
  • 2. 三角関数のグラフ
  • 3. ピタゴラスの定理

1.1.

sinとcosの定義

Ａを右クリックして、アニメションをチェックしてみよう。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

2.

加法定理を導く

sin(x+y)はどのように展開されるか。 それが加法定理です。 ここではピタゴラスの定理だけでなく、プトレミーの定理も使って導きます。 もちろんcos(x+y)やtan(x+y)についても考えましょう。

  • 1. Ptolemy's Theorem for Cyclic Quadrilaterals
  • 2. プトレミーの定理
  • 3. 加法定理を導く
  • 4. 加法定理（cos）
  • 5. 加法定理（tan）
  • 6. tanの加法定理その２
  • 7. 三角関数の倍角
  • 8. sinの微分
  • 9. （sinθ）’＝cosθ
  • 10. 半角公式
  • 11. 倍角と半角の関係
  • 12. 倍角と半角

2.1.

Ptolemy's Theorem for Cyclic Quadrilaterals

– Steve Phelps

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

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2.5.

–

2.6.

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2.7.

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2.8.

–

2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

–

3.

正弦定理

とてもシンプルできれいな定理です。 円周角の定理から導けます。 応用を一つ。

  • 1. 正弦定理の発見
  • 2. 正弦定理
  • 3. 外接円の半径
  • 4. カルノーの定理

3.1.

正弦定理の発見

– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

余弦定理

簡単に導けるのに、とても応用が広い定理です。 そして、何よりもいろいろな表現の仕方が浮かんできます。 自分で作成してみましょう。

  • 1. 余弦定理の発見
  • 2. 余弦定理の発見２
  • 3. 余弦定理
  • 4. 余弦定理Cosine theorem
  • 5. 余弦定理から内積へ
  • 6. 中線定理
  • 7. ピタゴラスの拡張定理の証明
  • 8. 頂垂線

4.1.

余弦定理の発見

この二つの長方形の面積は等しい。なぜ？　　Hは垂心
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

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4.8.

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5.

ヘロンの公式

ヘロンの公式を三角関数の公式を使って導きます。 この公式を使えるようになるには、公式を作ることが一番の近道です。

  • 1. ヘロンの公式
  • 2. Brahmaguptaの定理

5.1.

ヘロンの公式

ヘロン（3C頃）後期アレキサンドリア学派。理論よりも実用に重きをおいた。三角形の面積を辺の長さだけから求める公式を求めた。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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