[justify]Dadas las proyecciones diédricas verticales de la base ABC de un tetraedro contenida en el plano proyectante horizontal [math]\alpha[/math], hallar las proyecciones D' y D'' de su cuarto vértice. Determinar la visibilidad de las artistas del tetraedro en esta posición.[/justify]

[justify]Para resolver el ejercicio necesitaremos conocer cómo trazar la sección principal del tetraedro, de forma que podamos hallar su altura, h. Aquí, la altura no es otra cosa que la separación en perpendicular del vértice D con respecto a la cara ABC del enunciado.[br][br][/justify]La sección principal del tetraedro es aquélla que lo divide en dos partes iguales. Es un triángulo isósceles, de lado desigual AD la longitud de la arista del tetraedro, y de lado igual MA o DM la altura o apotema, a, de la cara equilátera de este poliedro.[br][br]La altura del poliedro es la equivalente a la trazada desde el vértice D o el A al lado opuesto de la sección principal. La altura h obtenida es la del segmento OD, siendo O el ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro de la cara ABC. Dicho de otro modo, el segmento MO mide la tercera parte del segmento MA, por ser O el baricentro y MA una mediana del triángulo ABC.

[justify][b]Datos:[/b][br][/justify][list][*]Proyecciones verticales de los vértices A, B, C.[/*][*]Plano proyectante horizontal [math]\alpha[/math]' que contiene a A, B, C.[/*][/list][b]Se pide:[/b][list][*]Proyecciones diédricas del punto A, cuarto vértice del tetraedro ABCD.[/*][*]Determinar las artistas vistas y ocultas del tetraedro.[/*][/list][br][b]Resolución:[br][br][/b][b]Paso 1. [/b]Hallo las proyecciones horizontales A', B' y C' sobre la traza horizontal del plano [math]\alpha[/math]. Al ser un plano proyectante, todas las proyecciones de los elementos contenidos en el plano tendrán sus proyecciones horizontales sobre esta traza.[br][b]Pasos 2, 3 y 4. [/b]Realizo un giro del plano [math]\alpha[/math] y de los puntos ABC hasta colocarlos en el plano vertical de proyección para ver la figura en verdadera magnitud. Obtengo el triángulo equilátero (ABC).[br][b]Pasos 5 y 6. [/b]Obtengo el ortocentro (O) del triángulo (ABC) en verdadera magnitud. Este punto será clave, pues a partir de él obtendremos el punto D del tetraedro mediante una perpendicular a ABC con separación la altura del tetraedro, obtenida de la sección principal del mismo.[br][b]Pasos 7, 8 y 9. [/b]Obtengo las proyecciones diédricas del ortocentro O' y O''.[br][b]Pasos 10, 11 y 12. [/b]Obtengo las sección principal MCA (en el ejemplo anterior era MAD) del tetraedro en verdadera magnitud. A partir de él hallo la altura, h.[br][b]Pasos 13 y 14. [/b]Me llevo la altura, h, en la perpendicular a [math]\alpha[/math]' desde O' para hallar D'.[br][b]Pasos 15. [/b]Obtengo D'' a la altura de O'' y alineado con D'.[br][b]Pasos 16 a 20. [/b]Determino la visibilidad de las artistas del tetraedro para la posición concreta del enunciado. Serán todas vistas a excepción del segmento A''B''[br]