[br][br]Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC. As áreas x, y e z representam as áreas de três triângulos menores:[br][list][*][br][b]Triângulo APN:[/b] Este triângulo tem base AP e altura PN. A base AP é metade da base AB do triângulo ABC, pois P é o ponto médio da mediana AM. A altura PN é a mesma que a altura do triângulo ABC, pois ambos os triângulos compartilham a mesma base AB e a altura é medida perpendicularmente à base. Portanto, a área do triângulo APN é um quarto da área do triângulo ABC.[br][br][/*][*][br][b]Triângulo CPM:[/b] Este triângulo tem base CP e altura PM. A base CP é metade da base BC do triângulo ABC, pois P é o ponto médio da mediana BM. A altura PM é a mesma que a altura do triângulo ABC, pois ambos os triângulos compartilham a mesma base BC e a altura é medida perpendicularmente à base. Portanto, a área do triângulo CPM é um quarto da área do triângulo ABC.[br][br][/*][*][br][b]Triângulo BMG:[/b] Este triângulo tem base BM e altura MG. A base BM é metade da base BC do triângulo ABC, pois M é o ponto médio da mediana BM. A altura MG é a mesma que a altura do triângulo ABC, pois ambos os triângulos compartilham a mesma base BC e a altura é medida perpendicularmente à base. Portanto, a área do triângulo BMG é um quarto da área do triângulo ABC.[br][br][/*][/list][b]Conclusão:[/b][br]Com base nas considerações acima, podemos concluir que as áreas x, y e z são todas [b]iguais a um quarto da área do triângulo ABC[/b]. Em outras palavras, cada um dos três triângulos menores representa um quarto da área total do triângulo ABC.[br][b]Demonstração matemática:[/b][br]Podemos demonstrar matematicamente a relação entre as áreas x, y e z da seguinte forma:[br]Seja A a área do triângulo ABC, então:[br][list][*]A área do triângulo APN = A/4[/*][*]A área do triângulo CPM = A/4[/*][*]A área do triângulo BMG = A/4[/*][/list]Somando as áreas dos três triângulos menores, obtemos:[br]A/4 + A/4 + A/4 = A[br]Simplificando, obtemos:[br]3A/4 = A[br]Dividindo ambos os lados por 3, obtemos:[br]A/4 = A/3[br]Portanto, as áreas x, y e z são todas [b]iguais a um terço da área do triângulo ABC[/b].[br][b]Observação:[/b][br]É importante notar que a relação entre as áreas x, y e z não depende da localização do baricentro G. O baricentro é sempre o ponto que divide as medianas do triângulo em duas partes com a mesma razão de 2:1. Portanto, a relação entre as áreas dos triângulos menores sempre será a mesma, independentemente da posição de G.[br]