4.3a Kreis und Vielecke, Exhaustion
Archimedes hatte die Idee, in den Kreis regelmäßige n-Ecke einzubeschreiben.
Dadurch wird der Kreis immer besser ausgefüllt.
Aber nicht der Reihe nach mit Vierecken, Fünfecken, Sechsecken usw., sondern mit Vierecken, Achtecken, Sechszehnecken usw., immer mit Verdopplungen der Eckenzahl.
So konnte er immer die vorigen Ergebnisse und Eckpunkte weiter benutzen.
Hier überlassen wir GeoGebra die aufwändigen Berechnungen.
Mit dem Schieberegler k können dem Einheitskreis für n = 2k entsprechende n-Ecke einbeschrieben werden.
Notiere in einer Tabelle die Flächeninhalte und beobachte, wie sich für größeres n die Werte stabilisieren. Wie lautet der auf den ersten fünf Dezimalstellen stabile Wert?
GeoGebra liefert uns auch den Umfang des jeweiligen einbeschriebenen Vielecks. Notiere in einer Tabelle die Umfänge und beobachte, wie sich für größeres n die Werte stabilisieren. Wie lautet der auf den ersten fünf Dezimalstellen stabile Wert?
| k | 2 | 3 | 5 | 10 | 11 | 12 |
| n | 4 | 8 | 32 | 1024 | 2048 | 4096 |
| Flächeninhalt n-Eck | |
| k | 2 | 3 | 5 | 9 | 10 | 11 |
| n | 4 | 8 | 32 | 512 | 1024 | 2048 |
| Umfang n-Eck | |
Hinweis:
Archimedes nutzte Formeln für n-Ecke, die sich bei Verdopplung der Eckenzahlen ergaben.
Er begann mit dem Sechseck und rechnete damit erfolgreich bis zum 96-Eck.
Übernimmt man diesen Ansatz in eine Tabellenkalkulation und rechnet weiter, kommt es (relativ bald) zur 'Divisionskatastrophe', weil dann aufgrund beschränkter numerischer Genauigkeit Terme im Nenner scheinbar den gleichen Wert haben und in der Subtraktion Null ergeben.
Dies ist ein Klassiker der numerischen Mathematik.
Hier tritt dieser Effekt nicht so schnell auf, weil wir die Formel n * 2sin((180°) / n) benutzen, die Archimedes mangels Sinus-Funktion bzw. Sinus-Tabellen nicht zur Verfügung hatte.
Aber natürlich gibt es hier auch numerische Grenzen.
Ein interessantes Thema aus der numerischen Mathematik, das hier aber für uns nicht im Vordergrund stand.