DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

jose Domingo, Mar 6, 2015

La orden ESD/1729/2008, de 11 de Junio, por la que se regula la ordenación y el currículo del bachillerato, nos cita lo siguiente: Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y aplicaciones informáticas como sistemas de algebra computacional o de geometría dinámica, pueden servir de ayuda tanto para la mejor compresión de conceptos y la resolución de problemas complejos como el procesamiento de cálculos pesados, sin dejar de trabajar la fluidez y la precisión en el cálculo manual simple, donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a confusión en sus conclusiones. Atendiendo a lo anterior, podemos afirmar que Geogebra es la mejor herramienta para desarrollar en el aula lo anteriormente citado de una manera original y motivadora para los alumnos de todos los niveles, especialmente para Bachillerato donde los conceptos teóricos suelen ser bastante áridos. Con la implantación del libro introduciremos en el aula un aprendizaje más autónomo para el alumno y se cambiará su rol en el aula de mero oyente de una explicación magistral del profesor. Mediante las aplicaciones creadas el alumno descubrirá los conceptos de aplicaciones sobre derivadas, dejando a un lado el papel del profesor de desarrollarle todos los contenidos siendo el alumno un mero oyente de la explicación. Con el libro el alumno interactúa con la explicación descubriendo los conceptos y proponiendo problemas para que el mismo, adquiera los conceptos, dejando el papel del profesor de mero guía y acompañante para su aprendizaje, realizando así una adquisición de contenidos bastante significativa. Mediante las aplicaciones que presento, guío al alumno para que interactuando con el libro responda a preguntas teóricas y resuelva problemas sobre: definición de derivada, significado de la pendiente de la recta tangente en un punto, monotonía, extremos y puntos de inflexión. Con este libro intento crear una manera dinámica de aprender el concepto de derivada y los conceptos básicos de sus aplicaciones interactuando con los applets de geogebra.

Table of Contents

  1. PENDIENTE DE UNA RECTA
    1. PENDIENTE DE UNA RECTA
  2. DEFINICIÓN DE DERIVADA EN UN PUNTO.
    1. DERIVADA EN UN PUNTO
  3. APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES.
    1. Aplicación de la primera derivada.
  4. APLICACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES.
    1. SEGUNDA DERIVADA Y CURVATURA DE UNA FUNCIÓN.
  5. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
    1. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN.

1.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Con este recurso se intenta que el alumno aprenda la relación entre la pendiente de una recta y el crecimiento/decrecimiento de la misma.

  • 1. PENDIENTE DE UNA RECTA

1.1.

PENDIENTE DE UNA RECTA

pendiente de una recta
RELACIÓN ENTRE LA PENDIENTE DE LA RECTA Y EL CRECIMIENTO DE LA MISMA.
En la aplicación superior exponemos la representación gráfica de una recta. Antes de realizar la actividad debes de recordar de cursos anteriores la definición de pendiente de una recta y las definiciones de crecimiento y decrecimiento de una función. Una ves recordada contesta a las siguiente cuestión:[br]1) Mueve la recta situando el cursor sobre el punto naranja A y contesta a la siguiente pregunta observando los valores de la pendiente de la recta en la parte superior izquierda:[br]¿ Existe alguna relación entre los valores de la pendiente y el crecimiento de la recta?. En caso afirmativo anótalo.[br]¿Que ocurre con esta relación cuando la recta es paralela al eje X?[br][br].
– jose Domingo

2.

DEFINICIÓN DE DERIVADA EN UN PUNTO.

Mediante la aplicación siguiente, intentaré introducir la idea de derivada en un punto y su relación con la recta tangente en ese punto.

  • 1. DERIVADA EN UN PUNTO

2.1.

DERIVADA EN UN PUNTO

DERIVADA EN UN PUNTO.
Podemos relacionar la idea de derivada con el crecimiento de un función en un intervalo o con la idea de velocidad de crecimiento en el mismo. Para saber lo que ha crecido una función en un intervalo observamos lo que ha subido la función en dicho intervalo. Si lo que queremos es saber la velocidad de crecimiento de una función en un intervalo estudiamos lo que ha subido la función en ese intervalo frente a lo que se ha desplazado. A esta velocidad de crecimiento es a lo que llamamos matemáticamente  T.V.M o Tasa de Variación Media.[br]Escribe  la expresión de la T.V.M . ¿Con qué podemos relacionar la T.V.M de una recta?.[br]Podemos definir derivada como la velocidad de crecimiento instantánea en un punto. Para ello se estudia la TVM teniendo en cuenta que se calcula aplicando la definición anterior alrededor de valores muy cercanos al punto por lo que el desplazamiento será muy pequeño y la subida de la función en ese intervalo también.[br]Observa la siguiente aplicación y contesta a las preguntas siguientes:
CUESTIONES
Vamos a estudiar el valor de la derivada alrededor del punto C. Para ello acercaremos el punto D, para ello moveremos con el ratón el deslizador b que se encuentra en la parte superior de la aplicación. Una vez nos acercamos poco a poco a C, podemos contestar a las siguientes preguntas:[br]1) Obtén una expresión matemática para la derivada interpretando lo que está pasando y basándote en la definición dada de derivada en el texto anterior.[br]2) Activa el circulo azul de la recta s (de color verde)  en el recuadro de variables de al lado de la aplicación.¿Como es esa recta respecto al punto C?[br]a) Explica que ocurre con la recta roja y la verde conforme el punto D se acerca al C.[br]b) Teniendo en cuenta lo anterior, ¿Con qué podemos relacionar la derivada en un punto?
– jose Domingo

3.

APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES.

Mediante una aplicación aprenderemos la aplicación que tiene la primera derivada para el estudio de funciones. Dicha aplicación es el estudio de la monotonía de la función y el cálculo de máximos y mínimos.

  • 1. Aplicación de la primera derivada.

3.1.

Aplicación de la primera derivada.

MONOTONÍA. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
En el capítulo anterior hemos aprendido que la primera derivada en un punto coincide con el valor de la recta tangente en ese punto. En la siguiente aplicación tendremos una función polinómica de grado tres. En ella veremos la relación de la primera derivada con los intervalos de crecimiento y decrecimiento.[br]En dicha aplicación está representada también la función primera derivada representada punteada en rojo, y en verde  la recta tangente a cada punto de la función.
CUESTIONES
Dada la aplicación el punto A me representa un punto de la función y el punto B un punto de la función primera derivada.[br]Mueve con el cursor el punto A y contesta :[br]1) ¿ Que relación existe entre los puntos A y B?.[br]2) ¿ Que relación existe en los valores de la pendiente de la recta verde con los intervalos de crecimiento y decrecimiento?[br]3 ¿Como lo relacionamos con la primera derivada en el punto?[br]4) Al mover el punto B hay regiones de la función derivada que se pintan de rojo y otros en verde. ¿ Cual es su relación con los intervalos de crecimiento?[br]5) Como puedes observar la función en el intervalo [ 0, 4] presenta un valor máximo y otro mínimo. Pon el punto A en ellos.[br]¿Que relación encuentras entre el valor máximo y la zona coloreada?. ¿ Y con la recta verde?.[br]6) Relaciona dichos valores con la primera derivada.
– jose Domingo

4.

APLICACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES.

En este capìtulo intentaremos relacionar la segunda derivada con la curvatura de la función e intentaremos estudiar en que puntos exactamente cambia de curvatura.

  • 1. SEGUNDA DERIVADA Y CURVATURA DE UNA FUNCIÓN.

4.1.

SEGUNDA DERIVADA Y CURVATURA DE UNA FUNCIÓN.

CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.
En este capítulo estudiaremos otra aplicación, en este caso de la segunda derivada de una función. Intentaremos relacionarla con el cambio de la curvatura de una función. Matemáticamente llamamos puntos de inflexión a los puntos de cambio de curvatura. Intentaremos calcular matemática los intervalos en los que una función es curva hacia arriba , en los que es curva hacia abajo y los puntos (de inflexión) en los que se produce el cambio de curvatura.[br]Para ello presento la siguiente aplicación en ella está representada la función del capítulo anterior y punteada en negro la función segunda derivada, en verde también tenemos la recta tangente a la función en cada punto.
CURVATURA Y SEGUNDA DERIVADA.
CUESTIONES.
En el capítulo anterior llegamos a la conclusión siguiente: si la derivada de una función se anula en un punto, ese punto es un posible  máximo o un mínimo. El inconveniente es que nos falta información, puesto que si una derivada se anula en dos puntos sabemos que son extremos relativos, pero no quien es el máximo y quien es el mínimo. La primera cuestión es la siguiente:[br]1) Sitúate en el punto A y muévelo con el cursor. Vemos que el punto B es un punto de la segunda derivada. ¿Cual es su relación con el punto A?.[br]2) Mueve con el cursor el punto A y sitúate en el máximo relativo . ¿Que relación tiene con la segunda derivada? . Haz lo mismo con el mínimo  relativo.[br]3) Como podemos observar el punto B deja un rastro de color. Estudia la relación  de ese rastro con el cambio de curvatura.[br]¿ Que representa la zona del cambio de color?. Si observamos justo en la zona de cambio el punto B toma color azul. ¿Que me indica ese punto?[br]4) Estudiado lo anterior y observando los valores de la segunda derivada. ¿ Puedes afirmar que existe una relación entre la segunda derivada y la curvatura?. En caso afirmativo enunciala.
– jose Domingo

5.

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.

En este capítulo intentaremos desarrollar la idea de derivabilidad y la relaciones que pueden existir entre continuidad y derivabilidad

  • 1. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN.

5.1.

DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN.

DERIVABILIDAD
En el capítulo dedujimos la definición de derivada en un punto, pero ahora nos hacemos una pregunta : Cuando existe la derivada en un punto?. A partir de lo estudiado en el tema anterior de límites y relacionándolo con la definición formal de derivada. ¿ Podrías deducir cuando existe la derivada en un punto?.[br]Cuando existe la derivada en ese punto decimos que la función es derivable en dicho punto.[br]Propongo la siguiente función pintada en azuldefinida por partes definida en la vista algebraica de la aplicación y su derivada representada en naranja punteado. En verde la recta tangente a cualquier punto A de la función:
CUESTIONES
1) Una vez demostrada la expresión para saber cuando una función es drivable. Observemos la aplicación anterior: mueve el punto A con el cursor y explica que ocurre en x = 0.[br]2) Puede ser una función continua y no derivable? ¿ Y al revés?
PROBLEMA
En la siguiente aplicación tenemos representada una función en azul punteado. Hemos representado también su derivada con trazo continuo magenta. Mover el cursor para calcular el valor de a para el cual la función es derivable.
– jose Domingo

Information