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Cilindros
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1. Cilindros Definição
- Definições
- Definindo no Geogebra
- Planificação de um cilindro
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2. Prismas e cilindros
- Cilindros inscritos e circunscritos
- Prismas regulares inscritos no cilindro
- Prisma Inscrito e Circunscrito a um Cilindro
- Volume do Cilindro Inscrito no Cone
- esfera inscrita no cilindro
- Cilindros Inscritos na Semiesfera
- Cilindro de Revolução
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3. Curiosidades
- Torre de Pisa
- Rotación Torre de Pisa
- CAD with GeoGebra for STEM - design a glass
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4. Exercícios
- Exercícios
- Cilindro 3D
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Cilindros
Mévelin Maus, Prof. Me. Darlan Correa, Mar 27, 2024
Livro Cilindros
Table of Contents
- Cilindros Definição
- Definições
- Definindo no Geogebra
- Planificação de um cilindro
- Prismas e cilindros
- Cilindros inscritos e circunscritos
- Prismas regulares inscritos no cilindro
- Prisma Inscrito e Circunscrito a um Cilindro
- Volume do Cilindro Inscrito no Cone
- esfera inscrita no cilindro
- Cilindros Inscritos na Semiesfera
- Cilindro de Revolução
- Curiosidades
- Torre de Pisa
- Rotación Torre de Pisa
- CAD with GeoGebra for STEM - design a glass
- Exercícios
- Exercícios
- Cilindro 3D
Definições
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
, um círculo R contido em 
e uma reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento 
, paralelo à reta r 
:
Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
, um círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
- bases: os círculos de centro O e O'e raios r
- altura: a distância h entre os planos
- geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo,
) e paralelo à reta r
Um cilindro pode ser:
- Circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
- Circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões 
:
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :
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Cilindros inscritos e circunscritos
Cilindro e Prismas
É importante observar que:
• as arestas laterais do prisma tocam o cilindro;
• o círculo da base do cilindro está circunscrito ao polígono da base do prisma;
• o prisma e o cilindro apresentam a mesma medida de altura.
Cilindro e Pirâmide
É importante observar que:
• o prisma e a pirâmide apresentam o mesmo polígono em suas bases;
• as alturas do prisma e da pirâmide apresentam a mesma medida;
• a aresta lateral da pirâmide, a altura e o raio de uma circunferência circunscrita ao polígono da base formam um triângulo retângulo, que pode ser definido pela fórmula (a)2 = R2 + H2.
Cilindro e Esfera
O cilindro circunscrito ou inscrito a uma esfera é equilátero cujo raio da base é igual ao raio da esfera: (2R)2 =(2r)2 + h2
Exemplos:
Torre de Pisa
Torre de Pisa
Embora destinada a ficar na vertical, a torre começou a inclinar-se para sudeste logo após o início da construção, em 1173, devido a uma fundação mal construída e a um solo de fundação mal consolidado, que permitiu à fundação ficar com assentamentos diferenciais. A torre atualmente se inclina para o sudoeste.
A altura do solo ao topo da torre é de 55,86 metros no lado mais baixo e de 56,70 metros na parte mais alta. A espessura das paredes na base é de 4,09 metros e 2,48 metros no topo. Seu peso é estimado em 14 500 toneladas. A torre tem 296 ou 294 degraus: o sétimo andar da face norte das escadas tem dois degraus a menos. Antes do trabalho de restauração realizado entre 1990 e 2001 a torre estava inclinada com um ângulo de 5,5 graus,estando agora a torre inclinada em cerca de 3,99 graus. Isto significa que o topo da torre está a uma distância de 3,9 m de onde ele estaria se a torre estivesse perfeitamente na vertical.
Construção
A Torre de Pisa é uma obra de arte em mármore branco, realizada em três fases ao longo de um período de cerca de 177 anos. A construção do primeiro andar começou no dia 9 de agosto de 1173, um período de sucesso militar e prosperidade. Este primeiro andar é uma arcada "cega" articulada por colunas clássicas coroadas com capitéis coríntios.
A torre começou a inclinar-se após a progressão de construção para o terceiro andar em 1178. Isto deveu-se a uma fundação de meros três metros sobre um subsolo fraco e instável, um projecto que falhou desde o início. A construção foi posteriormente paralisada por quase um século, porque o Pisanos estavam continuamente envolvidos em batalhas com Génova, Lucca e Florença. Este tempo permitiu ao solo subjacente ajustar-se. Caso contrário, a torre de Pisa quase certamente teria sido derrubada. Em 1198 os relógios foram temporariamente colocados no terceiro andar da construção inacabada.
Em 1272 a construção foi reiniciada por Giovanni di Simone, arquitecto do Camposanto. Em um esforço para compensar a inclinação, os engenheiros construíram andares com um lado mais alto do que o outro. Isso fez a torre começar a inclinar-se em outra direção. Devido a isso, a torre é realmente curva. A construção foi interrompida novamente em 1284, quando os Pisanos foram derrotados pelos Genoveses, na Batalha de Meloria.
O sétimo andar foi concluído em 1319. A sino-câmara acabou por não ser adicionada até meados de 1372 e foi construída por Andrea Pisano, que conseguiu, por sua vez, harmonizar os elementos góticos da sino-câmara com o estilo românico da torre. Há sete sinos, um para cada nota da escala musical. O maior deles foi instalado em 1655.
Depois de uma fase de reforço estrutural (entre 1990-2001),a torre está atualmente em fase de restauração gradual da superfície, a fim de reparar os danos visuais, devidos principalmente à corrosão e escurecimento. Estes são, particularmente, os pontos mais problemáticos, devido à idade da torre e à sua particular exposição ao vento e à chuva (corrosão).
Exercícios
Cilindros exercícios
1. Calcule a área lateral de um cilindro reto,sabendo que o diâmetro da base mede 14 cm e a geratriz é o dobro do raio.
2. O raio da base de um cilindro re revolução, cuja altura é igual ao comprimento da circunferência da base, mede 5 cm. Dê a área total da superfície do cilindro.
3. Sabendo que o raio da base de um cilindro reto mede 2 cm e a área da secção meridiana, 20 cm², calcule a área total da superfície do cilindro.
4. Se a medida da altura de um cilindro reto é 3/2 do raio da base, calcule a altura e o raio, sabendo que a área lateral do cilindro é 108 cm².
5. Um cilindro reto mede 8 m da altura e a área total de sua superfície mede 306m². Determine o volume do cilindro.
6. Um empresário recebeu um pedido para produzir determinado tipo de peça. Para cobrar pelo serviço, o dono da indústria precisa calcular a quantidade de matéria prima necessária à fabricação de cada unidade. Calcule o volume da peça, conforme as dimensões abaixo.
7. Um cilindro circular reto de volume 20π cm³, tem altura de 5 cm. Calcule a área lateral em centímetros quadrados.
8.
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