El hiperboloide de revolución es la superficie generada al girar una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola]hipérbola[/url] alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Si tomamos el eje que no corta a la hipérbola, se obtiene un hipeboloide de una hoja, y tomando el otro eje, un hiperboloide de dos hojas.[br][br]Si trazamos una curva de ángulo constante con el eje de giro sobre el hiperboloide de revolución de una hoja, y sobre ella hacemos deslizar un segmento, en la dirección de la curva, se obtiene una superficie desarrollable de pendiente constante. Esta superficie se denomina [url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Developable_surface]torso[/url], pues es reglada y de curvatura nula.

Pulsa en "Más opciones" y utiliza los puntos azules para[br][list][*]Modificar el radio de la "cintura" del hiperboloide.[/*][*]Cambiar su apertura, con el radio de una circunferencia horizontal. Su altura se elige con un punto sobre el eje.[/*][*]Modificar la longitud del segmento y el ángulo que forma con el eje, que es el mismo ángulo que, en cada punto, forman la curva y el eje.[br][/*][/list]Además, tenemos opciones para visualizar curvas, segmentos, cambiar colores, etc.

En ecuaciones implícitas, la ecuación de un hiperboloide de revolución de radio [i]r[/i] en la "cintura" (circunferencia utilizada para generar la superficie) es[br][center][math]x^2+y^2-a^2z^2=r^2[/math][/center]Considerando las identidades trigonométricas [math]sen^2x+cos^2x=1, cosh^2x-senh^2x=1[/math], podemos pasar a las ecuaciones paramétricas[br][center][math][br]\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&r\,cosh(v)cos(u) \\[br]y=&r\,cosh(v)sen(u)\\[br]z=&\frac{r}{a} senh(v) [br]\end{array}\right.[br]\begin{tabular}{c}\text{y denotando}\\[br]\bar v:=senh(v),[br]\end{tabular}[br]\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&r\sqrt{1+\bar{v}^2}\,cos(u) \\[br]y=&r\sqrt{1+\bar{v}^2}\,sen(u)\\[br]z=&\frac{r}{a} \bar{v}[br]\end{array}\right.[br][/math][/center]para [math]0\leq u<2\pi, v\in\mathbb R, \bar v\in\mathbb R[/math]. Las ecuaciones se corresponden con la superficie de revolución generadas por la hipérbola y=0, del plano XZ, [math]z=c\cdot\bar{v},x=r\sqrt{1+\bar{v}^2}[/math], es decir, [math]\frac{x^2}{r^2}-1=\frac{a^2z^2}{r^2}.[/math][br][br]Considerando que para cualesquiera p,q, [math](p\,cos(u)+q\,sen(u))^2+(p\,sen(u)-q\,cos(u))^2=p^2+q^2[/math], podríamos usar alguna de las dos posibles parametrizaciones referidas a las rectas del hiperboloide que, usando la ecuación del hiperboloide:[br][center][math]\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&r\left(\bar{v}\cdot sen(u)+cos(u)\right)\\[br]y=&r\left(\bar{v}\cdot cos(u)-sen(u)\right)\\[br]z=&\pm\frac{r}{a} \bar{v}[br]\end{array}\right.[br][/math][/center]Notar que, la recta que pasa por un punto de la cintura de la forma [math](r\,cos(u),-r\,sen(u),0)[/math], tiene como vector director [math]\overrightarrow{\left(sen(u),cos(u),\pm\frac{1}{a}\right)}[/math]. En particular, [i]a[/i] es la [i]tangente[/i] del ángulo formado por estas rectas y el eje de giro.

Para generar el torso, partimos de su borde de regresión, que es una curva de pendiente constante sobre el hiperboloide. Denotando ω el ángulo que formará la pendiente con el eje de rotación, si es mayor que el de las rectas del hiperboloide, tomando [math]m:=\frac{a}{\sqrt{tan^2\omega-a^2}}[/math], las ecuaciones de la curva de ángulo constante con el eje de giro, que será el borde de regresión, se puede comprobar que son[br][center][br][math][br]b(u,v)=\left\{[br]\begin{array}{rl}[br]x=&r(m\,senh(mu)cos(u)+cosh(m\,u)sen(u)) \\[br]y=&r(m\,senh(mu)sen(u)-cosh(m\,u)cos(u)) \\[br]z=&\frac{r}{a}\sqrt{1+m^2}senh(mu)[br]\end{array}[br]\right.[br][/math][br][/center][br]Los segmentos que definen el torso deben tener la dirección [math]a\sqrt{1+m^2}\cdot\overrightarrow{\left(cos(u),sen(u),0\right)}+\overrightarrow{(0,0,m)}[/math], para tener la inclinación determinada por [i]m[/i], y estar en el mismo plano vertical que el vector tangente al borde de regresión.[br]Tomando un vector de módulo 1, podemos parametrizar el torso introduciendo la variable [i]v[/i] que, además, indicará la longitud del segmento, resultando las ecuaciones:[br][center][math]t(u,v)=b(u,v)+\frac{1}{\sqrt{a^2(1+m^2)+m^2}}\cdot(a\sqrt{1+m^2}cos(u),a\sqrt{1+m^2}sen(u),m)[/math].[/center]

[list][size=85][*]Kirischiev RI. Lines of slope on the second order surfaces of revolution. Matematika, nekotorie eyo prilozheniya i metodika prepodavaniya. Rostov-na-Donu, 1972; p. 80-94.[/*][*]Krivoshapko S.N. y Ivanov V.N. Encyclopedia of[br] analytical surfaces (pág 36). Springer International Publishing Switzerland, 2015.[br][/*][*]Wunderlich Walter. Kurven konstanter ganzer Krümmung und fester Hauptnormalenneigung. Monatsh. ath. 1973; 77, No. 2, p. 158-171.[/*][/size][/list]