Für die [color=#00ffff][i][b]komplexen Zahlen[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] oben links wird die zugeordnete ON-Basis [br]und deren [color=#BF9000][i][b]Pole[/b][/i][/color] wie auf der Seite zuvor berechnet. [br]Die [color=#B45F06][i][b]Pole[/b][/i][/color] trennen die entsprechenden [color=#00ffff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] harmonisch: [br]beispielsweise werden [math]\{ z_1,z_2\}[/math] und [math]\{ z_3,z_4\}[/math] durch die Pole [math]\{ z12_1,z12_2\}[/math] harmonisch getrennt. [br]Die [color=#BF9000][i][b]Pole[/b][/i][/color] der ON-Basis werden durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] auf [math]\{ 0,\large\infty\}[/math], [math]\{ -1,1\}[/math] und [math]\{ -i,i\}[/math] [br]abgebildet. Die Bilder [math]Tz_i,i=1,...,4[/math] liegen entsprechend symmetrisch zu [math]\{ 0,\large\infty,-1,1,-i,i\}[/math]. [br]Hieraus folgt, dass für [math]f=Tz_1\in\mathbb{C}[/math] bei geeigneter Nummerierung[br] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] die [color=#980000][i][b]Bilder[/b][/i][/color] von [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] sind.[br]Die [color=#980000][i][b]Bilder[/b][/i][/color] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] bilden ein Parallelogramm. [br]Falls [math]f[/math] auf keinem der angezeigten Kreise (inklusive Geraden) liegt, besitzt dieses [color=#00ffff][i][b]Parallelogramm[/b][/i][/color] [br]außer den "Punktspiegelungen" [math]z\rightarrow-z[/math], [math]z\rightarrow\frac{1}{z}[/math], [math]z\rightarrow-\frac{1}{z}[/math] keine weiteren [color=#e69138][i][b]Symmetrien[/b][/i][/color] in der [br][color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color], insbesondere gibt es keine [color=#ff0000][i][b]Kreisspiegelung[/b][/i][/color], welche [math]\left\{f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\right\}[/math] invariant läßt.

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