Bilder. Berechnung der Intensitätsverteilung (Fresnel-Näherung) des Beugungsfeldes entlang der Achse des beleuchteten Spaltes als Funktion vom verallgemeinerten Parameter. Extrema. Grenzen.

Das Applet, das die untenstehenden Bilder erzeugt hat.

—➤Abb. 1: A=A(v), I=I(v) -Amplituden-Intensitäts-Verlauf im Beugungsbild eines Spaltes in Abhängigkeit vom Fresnel-Parameter v. Extrema.

Der Spalt wird mit einer ebenen Welle beleuchtet. Für das Nahfeld: von v₁ bis ∞: A=A(v), I=I(v) sind oszillierende Abhängigkeiten. Die Anzahl der Extrempunkte dieser Abhängigkeiten ist (im Gegensatz zur exakten Berechnung) unendlich. Im Folgenden werden sie als Feldbrennpunkte bezeichnet. Brennpunkte mit geraden Ordnungszahlen entsprechen Intensitätsminima, Brennpunkte mit ungeraden Ordnungszahlen -Intensitätsmaxima. a) Die abfallende Kurve (in Schwarz) der Feldstärke (im Bereich von v₁ bis 0) wird entlang der betrachteten Fraunhoferlinie: Beugungsminima 1. Ordnung, deren Winkelrichtung die Bedingung α₁=arcsin(λ/b) erfüllt, aufgetragen. Gesucht wird der Punkt (auf der v-Achse mit v_e bezeichnet), an dem die Feldamplitude z.B. um den Faktor e:=10 gegenüber ihrem Wert auf der betrachteten Linie für den Punkt v₁ abnimmt. Ein Beispiel: Abb. 5. b) Abschätzung der Grenzen des resultierenden Beugungsfeldes: Fraunhofer-Fernfeld, Übergangsfeld, Fresnel-Nahfeld.

—➤Abb. 2: I=I(FN) -Intensitätsverlauf im Beugungsbild eines Spaltes in Abhängigkeit vom Fresnel-Number FN. Extrema.

Der Spalt wird mit einer ebenen Welle beleuchtet. Nimmt man die Fresnel-Zahl FN als Parameter, so ist die schwingende Abhängigkeit I=I(FN) durch annähernd äquidistante kritische Punkte gekennzeichnet: FN₁, FN₂, ... . Die berechneten Werte sind in der Tabelle (☑ Tabelle) dargestellt. a) FN=0. b) Ich habe den Fresnel-Number-Parameter FN leicht umdefiniert: FN:=FN+ΔFN, wobei ΔFN≈0,252 (ΔFN ist als Schieberegler dargestellt, Sie können es untersuchen!). In diesem Fall nimmt FN_i fast ganzzahlige Werte an, die der Ordnungszahl der Extrema entsprechen. Wie aus dem Graphen I=I(FN) ersichtlich ist, handelt es sich bei der Abhängigkeit um eine nahezu periodische Funktion mit der Periode T=1.

—➤Abb. 3: Zusammenfassende Tabelle der kritischen Punkte der Beugungsfeldamplitude und der Intensitätsverteilung entlang der Spaltachse als Funktion der Beugungsparameter v und FN.

—➤Abb. 4: Verlauf der Intensitätsverteilung längs und quer zur optischen Spaltachse im gesamten Beugungsfeld hinter dem Spalt. Es wird ein Sonderfall betrachtet: Wellenläge: λ=0.1; Spaltbreite: b=2.

Die Abbildung in (aus Applet) Abschnitt a zeigt die Abhängigkeiten I=I(y) entlang der Spaltachse und in senkrechter Richtung in den Brennpunkten des Nahfeldes. Abschnitt b zeigt diese Abhängigkeiten (in einem anderen Maßstab) für das gesamte Beugungsfeld hinter dem Spalt. Die Grenzen der Beugungsfelder sind angegeben. Im Fernfeld entsprechen die Querintensitätsverteilungen den Kurven der Fraunhofer'schen Beugungstheorie (Beugung an Parallelstrahlen). Die Betrachtung erfolgt in Fresnelscher Näherung.

—➤Abb. 5: Ein Beispiel für die Änderung der Intensitätsabhängigkeit I=I(x) bei Änderung des Beobachtungspunktes L→Lₑ auf der Spaltachse.

Die Beleuchtungsamplitude am ersten seitlichen Tiefpunkt der Fraunhofer-Beugung ist gegenüber dem entsprechenden Punkt für den seitlichen Tiefpunkt in der Entfernung L=F1 - dem ersten Brennpunkt - um den Schwächungsfaktor e≈10.