[justify][b][color=#ff0000]INTRODUÇÃO [/color][br][/b][br][b][/b][/justify][justify][b]Nesta seção, analisaremos a influência do parâmetro [/b][math]b[/math][b] em uma função polinomial de segundo grau. Os demais coeficientes, [/b][math]a[/math][b] e [/b][math]c[/math][b], serão mantidos fixos em valores arbitrários, sem perda de generalidade, para que possamos observar com clareza o comportamento da função quadrática conforme o coeficiente [/b][math]b[/math][b] varia.[/b][b]Vamos investigar o que ocorre com o gráfico da função quando [/b][math]b<0[/math][b] , [/b][math]b>0[/math][b] e [/b][math]b=0[/math][b]. [br][br][br]Dentre os três parâmetros [/b][math]a[/math][b], [/b][math]b[/math][b] e [/b][math]c[/math][b], o parâmetro [/b][math]b[/math][b] é o que causa mais confusão para os estudantes, desse modo, vamos analisar o mesmo com bastante cautela. Combinado?[/b][b]Abaixo, você verá a função quadrática na forma padrão:[br][br][br][/b][/justify][center][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][b].[br][br][br][/b][/center][justify][b]Os coeficientes [/b][math]a[/math][b] e [/b][math]c[/math][b] estarão fixados em intervalos que serão explícitos na área gráfica. Seu objetivo é variar o coeficiente [/b][math]b[/math][b] e registrar uma breve análise sobre o comportamento do gráfico quando o parâmetro [/b][math]b[/math][b] for manipulado. Após as variações, você deverá ser capaz de responder:[br][/b][br][b][color=#ff00ff][br][br][1][/color] O que acontece com a posição do vértice da parábola?[br][/b][b][color=#ff00ff][br][2][/color] A concavidade da parábola muda quando [math]b[/math] varia?[br][/b][b][color=#ff00ff][br][3][/color] O gráfico se desloca para qual direção quando [math]b[/math] aumenta? e quando [math]b[/math] diminui, o que acontece?[br][/b][b][color=#ff00ff][br][4] [/color]O eixo de simetria sofre alteração?[br][/b][b][color=#ff00ff][br][5][/color] O valor de [math]b[/math] interfere na abertura da parábola?[br][/b][b][color=#ff00ff][br][6][/color] O que acontece com as raízes da função quando [math]b[/math] varia?[br][br][/b][b][color=#ff00ff][7][/color] O parâmetro [math]b[/math] altera mais a posição horizontal ou vertical da parábola?[br][color=#ff00ff][br][8][/color] O que todas as funções possuem em comum?[/b][/justify][b][br][br][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/b][/color][/b][br][/b][justify][b][color=#ff0000]Assim, nesse viés, para responder tais indagações, vamos para as variações. Mas antes, não esqueça: LEIA ATENTAMENTE AS RECOMENDAÇÕES![br][/color][/b][/justify]

[b][justify][b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]ANÁLISE GRÁFICA[/color][/b][/justify][/b][justify][b]Para auxiliar você, estudante, a observar o sinal do parâmetro [/b][math]b[/math][b] em uma função quadrática, foi traçada uma reta tangente ao gráfico da função passando pelo ponto [/b][math]\left(0,c\right)[/math][b], que corresponde ao ponto onde o gráfico intercepta o eixo [/b][math]y[/math][b].[/b][/justify][b]De forma analítica, no ponto em que [/b][math]x=0[/math][b], temos:[br][/b][b][br][center][/center][center][math]f(0)=c[/math][/center][br][br]ou seja, o ponto [/b][math]\left(0,c\right)[/math][b]representa a interseção do gráfico com o eixo [math]y[/math].[br][br][/b][justify][b]A reta tangente traçada nesse ponto nos ajuda a perceber uma característica muito importante: a inclinação dessa reta está diretamente relacionada ao coeficiente [/b][math]b[/math][b]. Em outras palavras, ao variar o valor de [/b][math]b[/math][b], a inclinação da reta tangente também se altera, permitindo visualizar de forma mais clara o efeito desse coeficiente no comportamento da função.[br][br]A partir dessa ideia, você conseguirá observar com mais tranquilidade o que acontece com o gráfico da função ao variar o valor de [/b][math]b[/math][b], descrevendo suas principais características independentemente dos valores escolhidos para [/b][math]a[/math][b] e [/b][math]c[/math][b].[br][br]Agora, observe atentamente os gráficos apresentados abaixo e realize uma análise crítica dos três casos que analisaremos: quando [/b][math]b=0[/math][b], [/b][math]b<0[/math][b] e [/b][math]b>0.[/math][b] Assim, analise cada gráfico procurando identificar semelhanças e diferenças no comportamento da parábola, bem como, a reta tangente (descrita em verde).[br][br]Sem mais conversa, vamos lá![/b][/justify]

[color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]INVESTIGAÇÃO CASO 01: [/b][/color][math]b<0[/math][br][br][b]Considere a função quadrática[br][/b][center][/center][center][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][b],[/b][/center][justify][b][br][br][/b][b]com [math]a=\pm1[/math], [math]c=20[/math] (sem perda de generalidade) e [/b][b][math]b\in\left[-50,0\right][/math][br][br][/b][/justify][justify][b]No GeoGebra abaixo, faça alterações no parâmetro [/b][math]b[/math][b], considerando valores menores que zero, e descreva, abaixo, o seu entendimento sobre o comportamento da curva. Seu objetivo será investigar:[br][/b][b][br][color=#ff00ff][br][1] [/color]O que acontece com a posição do vértice da parábola quando [math]b<0[/math]?[br][color=#ff00ff][br][2] [/color]A parábola continua com a mesma concavidade?[br][/b][b][color=#ff00ff][br][3] [/color]O eixo de simetria se desloca para qual lado do plano cartesiano?[br][/b][b][color=#ff00ff][br][4] [/color]O valor de [math]b[/math] altera a abertura da parábola?[br][color=#ff00ff][br][5] [/color]O que acontece com as raízes da função quando [math]b[/math] assume valores negativos?[br][color=#ff00ff][br][6] [/color]O gráfico sofre deslocamento horizontal, vertical ou ambos?[br][color=#ff00ff][br][7] [/color]O que todas as funções desse caso possuem em comum?[br][b][color=#ff00ff][br][8] [/color]Observe a reta tangente (reta vermelha) em diferentes pontos da parábola. Como sua inclinação varia quando [math]a>0[/math]?[/b][color=#ff00ff][br][/color][b][br][color=#ff00ff][9][/color] [/b][b]Repita a análise para [math]a<0[/math]. O que muda em relação ao caso anterior?[br][/b][color=#ff00ff][br][10] [/color]O que acontece com a inclinação da reta tangente ao passar pelo vértice da parábola?[br][br][color=#ff00ff][11][/color] Existe alguma relação entre a concavidade da parábola e o sinal da inclinação da reta tangente antes e depois do vértice?[br][br][br][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][/b][/justify]

[color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]INVESTIGAÇÃO CASO 02: [/b][/color][math]b>0[/math][br][br][b]Considere a função quadrática:[br][br][br][br]           [/b][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math],[center][/center][b][br][br]com [math]a=1[/math], [math]c=20[/math] (sem perda de generalidade) e [/b][b][math]b\in\left[0,50\right][/math][br][br][/b][justify][b]No GeoGebra abaixo, faça alterações no parâmetro [/b][math]b[/math][b], considerando valores maiores que zero, e descreva, abaixo, o seu entendimento sobre o comportamento da curva. Seu objetivo será investigar:[br][/b][/justify][b][br][color=#ff00ff][br] [1][/color] O que acontece com a posição do vértice da parábola quando [math]b>0[/math]?[br][color=#ff00ff][br][2][/color] A parábola continua com a mesma concavidade?[br][br][/b][b][color=#ff00ff][3][/color] O eixo de simetria se desloca para qual lado do plano cartesiano?[br][br][/b][b][color=#ff00ff][4][/color] O valor de [math]b[/math] altera a abertura da parábola?[br][br][/b][b][color=#ff00ff][5][/color] O que acontece com as raízes da função quando [math]b[/math] aumenta?[br][color=#ff00ff][br][6][/color] O gráfico sofre deslocamento horizontal, vertical ou ambos?[br][color=#ff00ff][br][7][/color] O que todas as funções desse caso possuem em comum?[br][b][color=#ff00ff][br][8][/color] As conclusões sobre a inclinação da reta tangente obtidas no Caso 1 continuam válidas? Justifique.[/b][br][br][b][color=#ff00ff][9][/color] O que mudou na posição do ponto onde a tangente é horizontal?[/b][br][br][b][color=#ff00ff][10][/color] Qual a relação entre esse ponto e o vértice da parábola?[br][br][br][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][/b][br][/b]

[color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]INVESTIGAÇÃO CASO 03: [/b][/color][math]b=0[/math][br][br][b]Considere a função quadrática:[br][br][br]           [/b][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][b],[br][br][br][br]com [/b][b][math]b=0[/math].[br][br]Assim, a função assume a forma[br][br][br][br][center][math]f(x)=ax^2+c[/math][/center][br][br][/b][justify][b][/b][/justify][justify][b]No GeoGebra, altere os valores de [math]a[/math] e [math]c[/math], observando diferentes gráficos da função. Considere valores positivos e negativos para esses parâmetros e registre suas conclusões. Seu objetivo será investigar:[br][br][br][/b][b][color=#ff00ff][br][1][/color] O que acontece com a posição do vértice quando o valor de [math]c[/math] é alterado?[br][br][color=#ff00ff][2][/color] O que acontece com a concavidade da parábola quando o valor de [math]a[/math] é alterado?[br][br][color=#ff00ff][3][/color] O que acontece com a abertura da parábola quando modificamos o valor de aaa?[br][br][color=#ff00ff][4][/color] O eixo de simetria muda de posição quando variamos [math]a[/math] e [math]c[/math]? Justifique.[br][color=#ff00ff][br][5][/color] Onde o vértice da parábola está localizado em relação ao eixo [math]y[/math]?[br][color=#ff00ff][br][6][/color] O gráfico sofre deslocamento horizontal, vertical ou ambos quando alteramos ccc?[br][color=#ff00ff][br][7][/color] Como as raízes da função são afetadas pelas variações de [math]a[/math] e [math]c[/math]?[br][color=#ff00ff][br][8][/color] Em quais situações a função possui duas raízes reais, uma raiz real ou nenhuma raiz real?[br][color=#ff00ff][br][9][/color] O que acontece com a interseção da parábola com o eixo [math]y[/math] quando [math]c[/math] varia?[br][color=#ff00ff][br][10][/color] Observando todos os gráficos construídos, quais características permanecem sempre iguais quando [math]b=0[/math]?[br][b][color=#ff00ff][br][11][/color] Onde está localizado o ponto em que a reta tangente é horizontal?[/b][br][b][color=#ff00ff][br][12][/color] Qual a relação desse ponto com o eixo [math]y[/math]?[/b][br][b][color=#ff00ff][br][13][/color] O que isso sugere sobre o eixo de simetria das funções da forma [math]f(x)=ax^2+c[/math]?[/b][/b][b][br][/b][color=#ff0000][br][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][/color][br][/justify]

[color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]QUESTÕES OBJETIVAS[br][/b][/color][br][justify][b]Agora, passaremos a resolver alguns exercícios sobre os conceitos vistos anteriormente nas variações. Desse modo, responda calmamente às questões abaixo:[/b][/justify]