Por Connelly (discusión · contribs.), Dominio público, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16088
Números complejos
Vamos a definir los números complejos y a ver algunas de sus características. También operaciones
Table of Contents
- Definición
- Números complejos: definición
- Opuesto. y conjugado
- Operaciones
- Operaciones con número complejos
- Raíces
- Raíces de números complejos
- Potencias
- Potencias de números complejos
- Curiosidades
- Conjunto de Mandelbrot
Números complejos: definición
Definición
Vamos a dar la expresión más común de los números complejos. [br]Son una extensión de los números reales. que se usan ente otras muchas cosas para resolver ecuaciones del tipo [math]x^2+1=0[/math], al despejar nos queda la raíz de un nº negativo: [math]x=\sqrt{-1}[/math], tomaremos este valor como base para definirlos. Llamaremos [math]i=\sqrt{-1}[/math], y definiremos un número complejo de la siguiente forma:[br][math]z=a+bi[/math], en la que [math]a,b\in\mathbb{R}[/math], [math]a[/math] es la parte real y [math]b[/math] la parte imaginaria.[br]Al conjunto de números complejos se le denota por [math]\mathbb{C}[/math][br][br][br]Podemos establecer una relación entre [math]\mathbb{C}[/math] y [math]\mathbb{R}^{^2}[/math] de tal manera que [math]z=a+bi[/math] se puede representar en el plano a través del vector [math]\left(a,b\right)[/math] que se llama afijo del número complejo[br][br]Si quieres saber más consulta [url=https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo]aquí[/url] (Wikipedia)
Los número complejos se pueden representar de varias formas:[br]Forma binómica: [math]z=a+bi[/math][br]Forma polar: [math]z=r_{\theta}[/math][br]Forma trigonométrica [math]z=r·cos\theta+r·sen\theta i[/math][br]Las 3 son equivalentes
Veamos como pasar de una forma a otra:[br]De binomica a polar [math]r=\sqrt{a^2+b^2}[/math], [math]\theta=arctag\left(\frac{b}{a}\right)[/math][br]De polar a binómica: [math]a=r·cos\theta[/math], [math]b=r··sen\theta[/math][br][br]A partir de estas dos y apliicando trigonométrica, la relación es obvia.
Operaciones con número complejos
Operaciones
En este apartado vamos a trabajar en forma. binómica[br]Las 4 operaciones básicas se pueden interpretar de forma gráfica a través de los afijos, como se muestra en el applet.[br]Puedes poner los valores que quieras y mostrar la operación correspondiente.
Detalle de las operaciones:
[b]Suma[/b]: [br][math]z_1+z_2=\left(a_1+b_1i\right)+\left(a_2+b_2i\right)=\left(a_1+a_2\right)+\left(b_1+b_2\right)i[/math][br][b]Resta[/b]:[br][math]z_1-z_2=\left(a_1+b_1i\right)-\left(a_2+b_2i\right)=\left(a_1-a_2\right)+\left(b_1-b_2\right)i[/math][br][b]Producto[/b]:[br][math]z_1·z_2=\left(a_1+b_1i\right)·\left(a_2+b_2i\right)=\left(a_1·a_2\right)+a_1·b_2·i+a_2·b_1·i+b_1·b_2·i^2=\left(a_1·a_2-b_1·b_2\right)+\left(a_1·b_2+b_1·a_2\right)i[/math][br][b]Cociente[/b]:[br][math]\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+b·_1i}{a_2+b_2·i}=\frac{\left(a_1+b·_1i\right)}{\left(a_2+b_2·i\right)}\frac{\left(a_2-b·_2i\right)}{\left(a_2-b_2·i\right)}=\frac{\left(a_1·a_2+b_1·b_2\right)+\left(b_1·a_2-a_1·b_2\right)i}{a_2^2+b_2^2}=\frac{\left(a_1·a_2+b_1·b_2\right)}{a_2^2+b_2^2a_2^2+b_2}+\frac{\left(b_1·a_2-a_1·b_2\right)}{a_2^2+b_2^2}i[/math]
Raíces de números complejos
Justificación
A diferencia de los números reales, en complejos hay tantas raíces distintas como indique el índice de la raíz. Así una raíz cuadrada siempre tiene dos raíces , una cúbica tres y así sucesivamente.[br]Para calcular las raíces es mejor trabajar en forma polar.[br]La expresión que tenemos es:[br][math]z=r_{\theta}[/math][math]\Longrightarrow\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r_{\theta}}[/math][br]Haremos dos cálculos, el módulo de todas ellas es el mismo [math]\sqrt[n]{r}[/math] y el argumento de cada una es:[br][math]\theta_k=\frac{\theta+360·k}{n},k=0,...,n-1[/math][br]
Características
Como todas tienen el mismo módulo, están en una dircunferencia de ese módulo y separadas el mismo ángulo unas de otras, por tanto los extremos de sus afijos forman una polígono regular de tantos lados como indica el índice de la raíz.
Potencias de números complejos
Potencias
Al igual que con las raíces, las potencias es más fácil calcularlas trabajando en polares[br][math]z^n=\left(r_{\theta}\right)^n=r^n_{n·\theta}[/math][br]Se obtiene un númnero de modulo la potencia del modulo del número original y el argumento el que tenía multiplicado por n.[br]En el siguiente applet se muestran las primeras potencias. Si se hace muy grande el módulo, se reescalan lños ejes para que se pueda visualizar[br][br]Se contemplan 3 casos:[br]- Si [math]r>1[/math], los módulos van aumentando siguiendo una "espiral".[br]- Si [math]r=1[/math], están todas en una circunferencia de radio 1.[br]-Si [math]r<1[/math], también forman una espiral, en este caso cada vez más pequeña[br][br][br]
Para saber más
En este documento tienes un estudio exhaustivo de las potencias con GeoGebra. El autor es José Luis Muñoz Casado[br][url=https://revistasuma.fespm.es/sites/revistasuma.fespm.es/IMG/pdf/s83-103-creogebra.pdf]Documento[/url]
Conjunto de Mandelbrot
El [b]conjunto de Mandelbrot[/b] es el más estudiado de los fractales. Recibe el nombre en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010).Este conjunto se define en el plano complejo fijando un número complejo [i]c[/i] cualquiera. A partir de [i]c[/i], se construye una sucesión de forma recursiva de la siguiente manera:[br][math]z_n^2=z_{n-1}^2+c[/math][br][math]z_0=0[/math]
Pertenencia al conjunto de Mandelbrot
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que [i]c[/i] pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda fuera de él.[br]Por ejemplo, si [i]c[/i] = 1 se obtiene la sucesión 0, 1, 2, 5, 26, …, que es divergente. Por tanto 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. En cambio, si [i]c[/i] = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1, …, que sí es acotada y, por lo que –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
En el siguiente applet, puedes mover el punto inicial [i]c[/i] y observar si los puntos de la sucesión se mantienen en una región del plano o por el contrario se alejan mucho. En este caso querría decir que [i]c[/i] no pertenece al conjunto de Mandelbrot.
Representación del conjunto de Mandelbrot
En esta imagen se puede observar dicho conjunto