[br]Niech [math]l_1[/math] będzie prostą równoległą do wektora [math]r_1=[a_1,b_1,c_1][/math] oraz [math]l_2[/math] będzie prostą równoległą do wektora [math]r_2=[a_2,b_2,c_2][/math]. Wówczas wzajemne położenie prostych [math]l_1[/math] i [math]l_2[/math] uzależnione jest od relacji między wektorami [math]r_1[/math] i [math]r_2[/math].[br]W szczególności[br][list][*][math]l_1\parallel l_2\ \Leftrightarrow\ r_1\parallel r_2[/math],[br][/*][*][math]l_1\perp l_2\ \Leftrightarrow\ r_1\perp r_2[/math]. [br][/*][/list]Ponadto jeśli dwie proste są równoległe, to są równe albo rozłączne. Jeśli nie są równoległe, to przecinają się w jednym punkcie albo są rozłączne i wtedy nazywamy je [color=#980000][b]prostymi skośnymi[/b][/color].[br]

Proste opisane równaniami parametrycznymi:[center][math]l_1:\begin{cases}x=1+ 2t\\ y=2+t,\\ z=2 - t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R}[/math] [math]l_2:\begin{cases}x=1-4t\\ y=1-2t,\\ z=2 t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R}[/math][/center]są [b]równoległe[/b] i różne.[br]Rzeczywiście. Wektory [math]r_1=[2,1,-1][/math] i [math]r_2=[-4,-2,2][/math] są równoległe odpowiednio do prostych [math]l_1[/math] i [math]l_2[/math]. Ponieważ [math]r_2=-2\cdot[2,1,-1]=-2r_1[/math], zatem wskazane wektory są równoległe, co oznacza, że podane proste są również równoległe. Ponadto punkt [math]P_1=(1,2,2)[/math] należy do prostej [math]l_1[/math] i nie należy do prostej [math]l_2[/math], czyli proste te nie pokrywają się.[br][br]Napisz równania kolejnej prostej równoległej do [math]l_1[/math] i [math]l_2[/math].[br]

Proste opisane równaniami parametrycznymi:[center][math]l_1:\begin{cases}x=1+ 2t\\ y=2+t,\\ z=2 - t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R}[/math] [math]l_2:\begin{cases}x=1-2t\\ y=1,\\ z=2 t\end{cases} \ \ t\in \mathbb{R}[/math][/center]są [b]prostymi skośnymi[/b].[br]Rzeczywiście. Wektory [math]r_1=[2,1,-1][/math] i [math]r_2=[-2,0,2][/math] to wektory równoległe odpowiednio do prostych [math]l_1[/math] i [math]l_2[/math]. Wektory te nie są równoległe, zatem proste [math]l_1[/math] i [math]l_2[/math] nie są również równoległe. Aby odpowiedzieć na pytanie czy proste te przecinają się, należy rozwiązać układ równań liniowych z niewiadomymi [math]x[/math], [math]y[/math], [math]z[/math] i [math]t[/math] składający się z sześciu równań opisujących rozważane proste. W tym przypadku jest to układ sprzeczny, zatem proste [math]l_1[/math] i [math]l_2[/math] są prostymi skośnymi. Dodatkowo ponieważ [math]r_1\circ r_2=-6\neq 0[/math], więc badane proste nie są prostopadłe.