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Propriétés des triangles
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1. Propriétés de base
- Inégalité triangulaire
- Somme des angles
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2. Droites caractéristiques
- Introduction
- Hauteurs
- Médianes
- Médiatrices
- Bissectrices
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3. Triangles particuliers
- Triangle rectangle
- Triangle isocèle
- Triangle équilatéral
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Propriétés des triangles
Jean Roussie, Dec 3, 2014
Propriétés de base des triangles
Table of Contents
- Propriétés de base
- Inégalité triangulaire
- Somme des angles
- Droites caractéristiques
- Introduction
- Hauteurs
- Médianes
- Médiatrices
- Bissectrices
- Triangles particuliers
- Triangle rectangle
- Triangle isocèle
- Triangle équilatéral
Inégalité triangulaire
Deux mots d'explication
L'inégalité triangulaire traduit le fait qu'il est plus court d'aller d'un point à un autre en ligne droite que de passer par le troisième point.
Ainsi, les trois inégalités suivantes sont toujours pour tous les triangles :
- SI alors
Introduction
On définit pour les triangles différentes familles de trois droites caractéristiques qui ont toutes la particularité d'être concourantes, c'est à dire que les droites de chaque familles sont sécantes en un point unique, caractéristique de cette famille de droites et du triangle :
- Les médianes, sécantes au centre de gravité du triangle
- Les hauteurs, sécantes à l'orthocentre du triangle
- Les médiatrices des cotés, sécantes au centre du cercle circonscrit au triangle
- Les bissectrices des angles au sommet, sécantes au centre du cercle inscrit du triangle
Triangle rectangle
La médiane issue de l'angle droit d'un triangle rectangle a pour mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
L'hypoténuse est un diamètre du centre du cercle circonscrit a un triangle rectangle.
Et réciproquement :
Un triangle dont un des cotés est le diamètre de son cercle circonscrit est un triangle rectangle dont ce côté est l'hypoténuse.
Ceci est une conséquence directe du fait qu'un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs milieux et ont même longueur est un rectangle.
Ainsi :
Si on trace le diamètre d'un cercle, tout les triangles dont le diamètre de ce cercle est un coté et dont le troisième sommet est sur le cercle sont des triangles rectangles.
De plus, les cotés d'un triangle rectangle qui forment un angle droit sont des hauteurs de celui-ci. L'orthocentre d'un triangle rectangle est donc confondu avec son angle droit.
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