Seções Cônicas: Diferentes abordagens dinâmicas

Rian Edmaster Szimanski, Sep 11, 2022

Resultado do Trabalho de Conclusão de Curso "UMA ABORDAGEM DINÂMICA DO CONTEÚDO DE CÔNICAS PARA O ENSINO SUPERIOR", sob orientação da professora doutora Vanessa Ferreira Sehaber. Esse livro está dividido em 5 capítulos, cada qual com atividades condizentes ao assunto tratado, contendo um texto explicativo, uma implementação no GeoGebra e questões direcionadoras.

Table of Contents

  1. Introdução - Um plano e um cone
    1. 01 - Um cone e um plano
    2. 02 - As cônicas
  2. Elipse
    1. Construindo uma Elipse
    2. Desenhando uma Elipse
    3. Focos de uma Elipse
    4. Eixos de uma elipse
    5. Excentricidade da elipse
    6. Equações da elipse
    7. Translação de uma elipse
    8. 1ª lei de Kepler - Aplicação
  3. Hipérbole
    1. Construindo uma Hipérbole
    2. A definição de Hipérbole
    3. Os focos os eixos da Hipérbole
    4. As assíntotas e excentricidade de uma hipérbole
    5. Distância dos vértices imaginários
    6. Equações de uma hipérbole
  4. Parábola
    1. Construindo uma Parábola
    2. Definição de uma parábola
    3. Elementos de uma parábola
    4. A concavidade e a equação da parábola
    5. Modificação da parábola a partir de seus parâmetros
  5. Equação geral das cônicas
    1. Equação geral das cônicas

1.

Introdução - Um plano e um cone

  • 1. 01 - Um cone e um plano
  • 2. 02 - As cônicas

1.1.

01 - Um cone e um plano

Cônicas
Chamamos de Cônicas (ou seções cônicas, ou curvas cônicas) o conjunto de pontos que formam a intersecção de um plano com a superfície de um cone, ou seja, uma cônica é uma figura plana resultante do corte de um cone por um plano.[br][br]Veja no exemplo abaixo as diferentes figuras que podem ser formadas quando a superfície de um cone é seccionada por um plano [math]\pi[/math].[br][br][b][i]Legenda:[br][/i][/b][i]z: [/i]eixo do cone.[br][i]f: [/i]reta geratriz do cone.[i][br]h: [/i]altura do plano [math]\pi[/math].[br][math]\alpha[/math]: ângulo entre a reta geratriz e o eixo do cone.[br][math]\gamma[/math]: ângulo de inclinação entre o plano e o eixo do cone.[br][i]n: [/i]valor da abscissa do ponto de inclinação do plano.[br][br][br]
Questões direcionadoras
Após exibir o plano [math]\pi[/math] e a figura formada na intersecção do plano com o cone, responda:[br][br]Ao manipular os parâmetros [math]\alpha[/math], [math]\gamma[/math], [i]h [/i]e [i]n[/i], você consegue identificar, na janela do extrema direita, alguma figura conhecida ou que você já tenha estudado anteriormente?
Quando o ângulo [math]\gamma[/math] é igual a 90° qual figura plana é formada pela intersecção do plano e do cone?
Qual a figura formada quando o plano [math]\pi[/math] é paralelo, mas não intercepta o eixo [math]z[/math] do cone?
Qual figura é formada quando o plano [math]\pi[/math] é paralelo a reta geratriz [math]f[/math], ou seja, quando [math]\alpha[/math] e [math]\gamma[/math] tem o mesmo ângulo?
O que diferencia uma hipérbole de uma parábola?
Quando [math]\gamma\ne\alpha[/math], [math]\gamma\ne90º[/math] e o plano [math]\pi[/math] interceptar apenas uma das partes do cone, qual é a figura formada?
É possível formar mais algum objeto matemático, além dos já citados, a partir da intersecção do plano no cone?
– Rian Edmaster Szimanski

1.2.

–

2.

Elipse

  • 1. Construindo uma Elipse
  • 2. Desenhando uma Elipse
  • 3. Focos de uma Elipse
  • 4. Eixos de uma elipse
  • 5. Excentricidade da elipse
  • 6. Equações da elipse
  • 7. Translação de uma elipse
  • 8. 1ª lei de Kepler - Aplicação

2.1.

Construindo uma Elipse

[justify][/justify]Siga o passo-a-passo abaixo para construir uma elipse no GeoGebra:[br][br]1°) Selecione a ferramenta ponto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] e posicione dois pontos em algum local da Janela de Visualização.[br]2°) Com a ferramenta elipse [icon]/images/ggb/toolbar/mode_ellipse3.png[/icon] selecionada, clique nos dois pontos criados anteriormente e escolha em que local definirá o último ponto para criar a elipse.[br]
Pensando da construção que você acabou de realizar, quais elementos são necessários para que exista uma elipse?
O que acontece com a elipse se o ponto A ou o ponto B for movido? E se o ponto A e B se aproximarem? Ou se eles se afastarem?
O que acontece se o ponto C for movido para perto dos dois primeiros pontos? Ou se for afastado desses pontos?
O que é necessário para que a elipse fique a mais parecida possível com um círculo?
– Rian Edmaster Szimanski

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

3.

Hipérbole

  • 1. Construindo uma Hipérbole
  • 2. A definição de Hipérbole
  • 3. Os focos os eixos da Hipérbole
  • 4. As assíntotas e excentricidade de uma hipérbole
  • 5. Distância dos vértices imaginários
  • 6. Equações de uma hipérbole

3.1.

Construindo uma Hipérbole

Siga o passo a passo abaixo para construir uma hipérbole:[br][br]1°) Selecione a ferramenta Ponto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] e posicione dois pontos em (-2,0) e (2,0).[br]2°) Com a ferramenta Hipérbole [icon]/images/ggb/toolbar/mode_hyperbola3.png[/icon] selecione os dois pontos já criados e defina a hipérbole acrescentando um outro ponto.[br]
Questões direcionadores
Com base na construção realizada, quais elementos você citaria como essenciais para construir uma hipérbole?
Há alguma semelhança entre a hipérbole e as demais cônicas já estudadas?
Que modificações acontecem na figura da hipérbole quando manipulado cada um dos pontos criados?
Para essa questão vamos construir outras duas hipérboles.[br][br]Utilizando o campo de entrada defina as hipérboles utilizando a sintaxe: [i]Hipérbole(Foco, Foco, Comprimento do Semieixo Maior):[/i][br][br][img]https://i.ibb.co/Qj6Kp7w/Captura-de-tela-2022-12-11-080542.png[/img][br][br][list][*][i]Hipérbole(A, B, 1)[/i][/*][*][i]Hipérbole(A, B, 3)[/i][/*][/list]a) Baseado na sintaxe utilizada para as construções, há elementos que se assemelham as demais cônicas?
b) O que aconteceu quando se construiu a segunda hipérbole? O que se pode concluir sobre a diferença entre as duas?
– Rian Edmaster Szimanski

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

Parábola

  • 1. Construindo uma Parábola
  • 2. Definição de uma parábola
  • 3. Elementos de uma parábola
  • 4. A concavidade e a equação da parábola
  • 5. Modificação da parábola a partir de seus parâmetros

4.1.

Construindo uma Parábola

Siga o passo-a-passo abaixo para construir uma hipérbole no GeoGebra:[br][br]1°) Selecione o campo de entrada e defina os três pontos: A=(0,1), B=(-2,0) e C=(2,0).[br]2°) Selecione a ferramenta reta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] e clique nos pontos B e C.[br]3°) Com a ferramenta Parábola [icon]/images/ggb/toolbar/mode_parabola.png[/icon] selecionada clique no ponto A e depois na reta criada.[br]
Questões direcionadoras
O que acontece com a parábola se movimentarmos o ponto A?
Quais modificações acontecem com a parábola se manipularmos os pontos que formam a reta?
O que é necessário fazer para que a abertura da parábola seja cada vez mais fechada?[br]
– Rian Edmaster Szimanski

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

5.

Equação geral das cônicas

Através de nossos estudos, descobrimos as equações canônicas dos locais geométricos no plano que determinam a parábola, a elipse e a hipérbole. Contudo, também é possível representar todas as curvas cônicas por uma única equação.

  • 1. Equação geral das cônicas

5.1.

Equação geral das cônicas

Devemos supor, que a equação desejada deverá ser de segundo grau e além disso, conter duas variáveis [math]x[/math] e [math]y[/math]. Logo, a equação que todos preenche os requisitos é:[br][br][math]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey-F=0[/math][br][br]Com A, B, C, D, E, F ∈ [math]\mathbb{R}[/math] e A, B, C não simultaneamente nulos.[br][br]Modifique os parâmetros abaixo de maneira que forme cada uma das cônicas.[br]
– Rian Edmaster Szimanski

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