[size=100][u]1. Die Gerade r liegt in der allgemeinen Form ax+by=c vor.[/u][/size][br][br][b]Vorgehensweise[/b]: Koordinaten des Punktes P in die Geradengleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung gelöst wird.[br][br][b]Beispiel[/b]: P(1;2) und r: x+2y=-1[br][br][b]Lösung[/b]: der Punkt liegt nicht auf der Geraden. Denn setzt man die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung links ein, erhält man[br][math]1+2\cdot2=5\ne-1[/math][br][br][u]2. Die Gerade r liegt in Parameterform vor[/u].[br][br][b]Vorgehensweise:[/b] Ersetze in der Parameterform der Geraden r die Punktkoordinaten durch jene des Punktes P. Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn der Wert des Spurparameters für jede Koordinatengleichung übereinstimmt[br][br][b]Beispiel[/b]: P(9;6) und r:[math]\binom{x}{y}=\binom{-1}{4}+t\binom{5}{1}[/math][br]Lösung: Ersetze in der Geradengleichung x und y durch die Werte von P[br][math]9=-1+t5[br][/math] <=> t=2[br][math]6=4+t[/math] <=> t=2[br]Die Lösungswerte stimmen überein. P liegt auf der Geraden

Mit Hilfe dieser Seite untersuchen wir die verschiedenen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum.[br][br]Die meisten Aufgaben sind mit Hilfe der Applets zu lösen. Manche jedoch auch ohne.[br]In jedem Fall werden Notizen benötigt, damit wir die Lösungen gut vergleichen können.[br]-------------------------------------------------------------------------------------------------------

[b][color=#0000ff]Nimm dir 2 Stifte und stelle zunächst selbst verschiedene Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden dar.[br]Beschreibe und notiere die Lagebeziehungen möglichst genau.[/color][/b][br][br]-------------------------------------------------------------------------------------------------------[br]

a) Mache dich mit den Schiebereglern vertraut. Welchen Teil der Gerade verändern sie?[br][br]b) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede müssen g und h haben, sodass diese Lagebeziehung entsteht?[br][br]c) Es gibt hier einen Sonderfall. Finde ihn.

a) Mache dich mit den Schiebereglern vertraut. Welchen Teil der Gerade verändern sie?[br][br]b) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede müssen g und h haben, damit diese Lagebeziehung entsteht?[br][br]c) Es gibt hier einen Sonderfall. Finde ihn.

a) Bewege die Ansicht, sodass du die Geraden aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten kannst.[br][br]b) Wie unterscheidet sich diese Lage von den vorherigen?[br][br]c) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede müssen g und h haben, sodass diese Lagebeziehung entsteht?[br][br]d) Ist diese Lagebeziehung auch im 2-Dimensionalen möglich? Begründe deine Antwort.

1. Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren kollinear sind[br][br](Wie geht das nochmal? zwei Vektoren [math]\binom{a}{b}[/math] und [math]\binom{c}{d}[/math] sind kollinear, wenn ihre Komponenten komponentweise[br][list][*]gleich Null sind (z.B. a=c=0) ODER[/*][*]die Verhältnisse der Komponenten gleich sind a:c = b:c )[/*][/list][br]Daraus ergeben sich [b][color=#0000ff]zwei Alternativen[/color][/b][br][br][table][tr][td]Richtungsvektoren sind [b]nicht kollinear:[/b][/td][td][/td][td]Richtungsvektoren sind [b]kollinear[/b]:[/td][/tr][tr][td]In der Ebene: Geraden müssen sich [b]schneiden[/b][br]Im Raum: Geraden schneiden sich [br]ODER [br]sind [b]windschief[/b] [br][br][/td][td][/td][td]Geraden sind [b]parallel[/b][br]ODER[br]Geraden sind [b]identisch[/b][/td][/tr][/table][br][br]2. Um die Lagebeziehung eindeutig zu klären, muss eine Probe durchgeführt werden:[br]Setze die Parameterformen gleich und bestimme die Lösungsmenge[br]r_1: [math]\binom{x}{y}=\binom{a}{b}+t\binom{v_x}{v_y}[/math] Spurparameter t[br]r_2: [math]\binom{x}{y}=\binom{c}{d}+s\binom{w_x}{w_y}[/math] Spurparameter s[br]Setze die rechten Seiten gleich und löse nach t und s (Lineares Gleichungssystem)[br][br][math]\left(I\right)a+tv_x=c+sw_x[/math][br][math]\left(II\right)b+tv_y=d+sw_y[/math][br][br]Es ergeben sich [b]zwei Fälle:[/b][br]1) Nicht-kollineare Richtungsvektoren[br][br][table][tr][td]Lösungsmenge eindeutig =>[/td][td]Geraden schneiden sich in einem Punkt[/td][/tr][tr][td]Lösungsmenge ist leer =>[/td][td]Geraden sind windschief[/td][/tr][/table][br]2) kollineare Richtungsvektoren[br][table][tr][td]Lösungsmenge leer =>[/td][td]Geraden sind parallel[/td][/tr][tr][td]Lösungsmenge allgemein (unendlich viele Lösungen) =>[/td][td]Geraden sind identisch[/td][/tr][/table][br]Im Falle kollinearer Richtungsvektoren kann auch verkürzt eine Punktprobe durchgeführt werden (Aufpunkt in die Parameterform einsetzen und prüfen, ob der Aufpunkt auf der anderen Geraden liegt)[br]