[br]Wyznaczymy dziedzinę, przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x)=\ln\left(\frac{x}{1+x^2}\right)-2x\,\text{arctg}\,x[/math].[/center][u]Rozwiązanie:[/u][br]Funkcja [math]f[/math] jest określona dla [math]x>0[/math].

Zauważmy, że tylko jedno rozwiązanie przedstawione w wierszu 5 należy do dziedziny funkcji [math]f[/math], a zatem może ona mieć co najwyżej jeden punkt przegięcia.

[math]f''(x)<0[/math] dla [math]x\in (0,\sqrt{\sqrt{17}+4})[/math], więc funkcja [math]f[/math] jest wklęsła na przedziale [math](0,\sqrt{\sqrt{17}+4})[/math]. [br][math]f''(x)>0[/math] dla [math]x>\sqrt{\sqrt{17}+4}[/math], więc funkcja [math]f[/math] jest wypukła na przedziale [math](\sqrt{\sqrt{17}+4},+\infty)[/math]. [br]Punkt [math]\left(\sqrt{\sqrt{17}+4},f(\sqrt{\sqrt{17}+4})\right)[/math] jest punktem przegięcia wykresu funkcji [math]f[/math].