Abbildung 1
Schreibweisen des Differenzen- und Differentialquotienten
Bei der Differentialrechnung handelt es sich um ein Teilgebiet der sogenannten Infinitesimalrechnung. Sie wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts unabhängig voneinander durch Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646-1716) und Isaac NEWTON (1643-1727) entwickelt. ([url=https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Geschichte]Geschichte der Differentialrechnung[/url])[br][br]Durch die zeitgleiche Entstehung auf dem europäischen Festland wie auch den britischen Inseln sind[br]heute zwei verschiedene Schreibweisen gebräuchlich.[br][br]
Die uns bereits bekannte Schreibweise sieht folgendermaßen aus:[br][br]Der sogenannte [b]Differenzenquotient[/b] über dem Intervall [a,b] beschreibt die Steigung der Sekante und wird wie folgt gebildet:[br][br][center][math]\varphi(b,a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math][/center][br][br]Die Steigung der Tangente an der Stelle [math]a[/math] ist durch den [b]Differentialquotient[/b] gegeben:[br][br][center][math]f'(a)=\lim \limits_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math][/center]
[b]i) Alternative[br][br][/b]Aus dem Physikunterricht ist dir wahrscheinlich die [url=https://de.serlo.org/f%C3%A4cher-im-aufbau/117487/die-delta-schreibweise]Delta-Schreibweise[/url] bereits bekannt. [br][br]Man setzt [math]\Delta x :=b-a[/math] somit wird [math]b[/math] zu [math]b=a+\Delta x[/math][br][br][br]Damit kann der Differentialquotient an der Stelle [math]x_0=a[/math] wie folgt ausgedrückt werden (siehe Abbildung 2):[br][br][center][math]f'(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/math][/center][i][/i]
Abbildung 2
[b]ii) Leibniz'sche Schreibweise[/b][s][/s][br][br]Gottfried Wilhelm LEIBNIZ ging nun noch einen Schritt weiter und definierte nicht nur [math]\Delta x:=b-a[/math] sondern auch den Abstand auf der y-Achse mit [math]\Delta y:=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(b)-f(a)[/math].[br][br]Damit gilt für den Differenzenquotienten:[br][br][center][math]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math][/center][br]Diese Schreibweise ist dir uU schon für die Steigung einer linearen Funktion bekannt: [math]k=\tfrac{\Delta y}{\Delta x}[/math][br]
Abbildung 3
Da der Limes des Differenzenquotienten den Differentialquotienten ergibt lässt sich [math]f'(x_0)[/math] wie folgt bilden:[br][br][center][math]f'(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math][/center][br][br]Durch diese Grenzwertbildung werden sowohl [math]\Delta x[/math] als auch [math]\Delta y[/math] immer kleiner, man erhält sozusagen "unendlich kleine Größen". Leibniz bezeichnete diese als [b]Differentiale[/b] und schrieb sie als [i]dx[/i] und [i]dy[/i] an. [br][br]Der Grenzwert [math]\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math] wird dadurch zu [math]\frac{dy}{dx}[/math][br][br]Der Quotient dieser Differentiale ergibt also den sogenannten Differentialquotienten [math]\frac{dy}{dx}[/math] [br][br][br]In der Praxis schreibt man heute oft: [math]f'(x)=\frac{df}{dx}[/math] [lies: df nach dx][br][br][br]Diese Schreibweise ist weit verbreitet in Naturwissenschaftlichen Disziplinen wie z.B. der Physik und ist vor allem dann nützlich wenn es auf die genaue Angabe der Stelle [math]x_0[/math] nicht ankommt.[br][br]________________________________________________________________________________________[br][br]Beispiel:[br][br]Die Aussage [math]h(t)=-\tfrac{gt^2}{2}+h_0 \Longrightarrow s'(t)=-gt[/math] kann also wie folgt angeschrieben werden: [math]h(t)=-\tfrac{gt^2}{2}+h_0 \Longrightarrow \frac{dh}{dt}=-gt[/math]
Schreibe die Aussage [math]V(r)=\tfrac{4}{3}\pi r^3 \Longrightarrow V'(t)=4\pi r^2[/math] mit Hilfe der Leibniz-Schreibweise an!
[b]Interpretation[/b][br]Bei einer Tagesproduktion von x Stück, entstehen einer Firma die Produktionskosten K(x). Interpretiere folgende Aussagen ([math]\Delta x >0[/math]):
[math]K(x+\Delta x)-K(x)[/math]
[math]\frac{K(x+\Delta x)-K(x)}{\Delta x}[/math]
[math]\frac{dK(x_0)}{dx}[/math]