[b]Teorema[/b] Le tre altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, si incontrano in un punto (detto [b]ortocentro[/b])[br][b][br]Ipotesi: [/b]triangolo ABC[br][b]Tesi:[/b] le altezze si incontrano in un punto[br][br]Vediamo i passaggi principali della costruzione con Geogebra lasciando i dettagli della dimostrazione per esercizio
[list=1][*]Costruiamo il triangolo[/*][*]Tracciamo le altezze: retta per ogni vertice e [b]perpendicolare al lato[/b] opposto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon][/*][*]Individuiamo il [b]piede [/b]di ciascuna altezza ([icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] e nascondiamo le rette); individuiamo le altezze [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] e cambiamo lo stile [i][tasto destro, proprietà, colore, stile][/i][/*][*]Individuiamo il punto di incontro tra due delle tre altezze e [b]verifichiamo [/b]che anche la terza altezza passa per tale punto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_relation.png[/icon][/*][/list][br][u]Attezzione:[/u] questa è solo la verifica della validità dell'enunciato[br][br]
5. Tracciamo una retta passante per A e parallela al lato opposto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallel.png[/icon]([i]il comando lo troviamo nella stessa icona delle rette perpendicolari[/i])[br][br]6. Ripetiamo anche per gli altri due vertici[br][br]7. Individuiamo i punti di intersezione tra queste tre nuove rette. Otteniamo un nuovo triangolo.[br][br]8. Osserviamo che le rette che contengono le altezze (quelle tratteggiate) sono gli assi del nuovo triangolo.[br][br]9. Possiamo concludere che poiché gli assi si incontrano in un punto, anche le tre altezze si incontreranno (nello stesso punto)[br][br]CVD[br][br][u]Attenzione: [br][br][br][br][/u][b]ATTENZIONE[/b][u]: [/u]il punto centrale della dimostrazione è il passaggio n. 8:[i]per poter affermare che sono assi[br]è necessario dimostrare che:[/i][u][br][/u][i]- sono perpendicolari al lato[/i][br][i]- passano per il punto medio del lato.[br][/i][br]La prima affermazione è verificata per costruzione.[br]Per la seconda affermazione è necessario osservare che: [i]consideriamo ad esempio il quadrilatero GCBA:[/i][br][i]- GC e BA sono paralleli per costruzione[/i][br][i]- CB e GA sono paralleli per costruzione[/i][br][i]dunque GCBA è un parallelogramma. [/i][br][i]Per la proprietà del parallelogramma ha i lati opposti congruenti, in particolare GC=BA[/i][br][i]Consideriamo adesso il parallelogramma CHBA. Analogamente a sopra CH=BA. [/i][i]Dunque C è punto medio di GH.[/i][br][br][i]Ripetiamo ora per gli altri lati.[/i][u][br][br][/u]