SAMOLO, Nov 23, 2019

El estudio del Cálculo en Varias Variables entraña algunos obstáculos, de orden epistemológico, que dificultan su aprehensión, entre los cuales podemos mencionar los siguientes: La visualización y representación de objetos tridimensionales. La necesidad de representar objetos tridimensionales en el plano bidimensional. La existencia de ciertas propiedades que son válidas en el plano pero no en el espacio. En este sentido es conveniente la utilización de GeoGebra, como un software que permite la creación de actividades que posibilitan un acercamiento más visual de los conceptos y de los objetos geométricos y complementariamente permite la manipulación de los objetos y por tanto la experimentación, simulación y verificación o refutación de conjeturas, sin dejar de tener presente que “estas tecnologías son simplemente un elemento curricular más y por tanto dependerán de cómo se apliquen o en dónde se apliquen para que tengan relevancia en un buen proceso educativo.” (Adams, 2006). En este libro se presentan actividades que ilustran algunos de los conceptos tratados en geometría analítica del espacio tales como: Las Relaciones métricas entre puntos, rectas y planos, así como la representación de diversas superficies.

En geometría pueden considerarse como objetos iniciales los puntos, las rectas y los planos. Entre estos objetos existen algunas relaciones, tales como la pertenencia, que nos permiten decidir si entre ellos existe una distancia no nula. En lo que sigue se presentan actividades determinar la distancia entre puntos, rectas y planos.

• 1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
• 2. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA
• 3. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.
• 4. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.
• 5. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN 1
• 6. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN 2
• 7. DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.
• 8. DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS

En geometría pueden considerarse como objetos iniciales los puntos, las rectas y los planos. Entre estos objetos existen algunas relaciones, tales como la pertenencia, que nos permiten decidir si entre ellos existe una distancia no nula o el ángulo entre ellos. En esta sección se presentan actividades determinar el ángulo entre rectas y entre planos.

• 1. EL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CORTAN.
• 2. EL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.
• 3. EL ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.
• 4. EL ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.

En geometría pueden considerarse como objetos iniciales los puntos, las rectas y los planos. Entre estos objetos existen algunas relaciones, tales como la pertenencia, que nos permiten decidir si entre ellos existe una distancia no nula. Se presentan el plano mediador de un segmento y el plano bisector de dos planos que se cortan.

• 1. EL PLANO BISECTOR DE DOS PLANOS QUE SE CORTAN.
• 2. EL PLANO MEDIADOR DE UN SEGMENTO.

Una [b]Superficie cuádrica[/b] se representa en forma algebraica por una ecuación de segundo grado en tres variables y dependiendo de los valores de los coeficientes de las variables se obtienen seis objetos geométricos denominados: ELIPSOIDE; en particular una ESFERA, HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA, HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS, CONO DOBLE, PARABOLOIDE ELÍPTICO o PARABOLOIDE HIPERBÓLICO. Se presentan a continuación estos objeto sus curvas de nivel y sus secciones transversales.

• 1. ELIPSOIDE, CURVAS DE NIVEL Y SECCIONES
• 2. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA, CURVAS DE NIVEL Y SECCIONES.
• 3. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS, CURVAS DE NIVEL Y SECCIONES.
• 4. PARABOLOIDE ELÍPTICO, CURVAS DE NIVEL Y SECCIONES.
• 5. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO, CURVAS DE NIVEL Y SECCIONES.
• 6. CONO DOBLE, CURVAS DE NIVEL Y SECCIONES.

Un [b]Cilindro[/b] es la superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva dada, situada en un plano, de tal manera que siempre es paralela a una recta dada. La curva se llama [b]directriz[/b] y la recta [b]generatriz.[/b] Consideraremos únicamente cilindros cuya directriz es una curva situada en un plano coordenado y por tanto su directriz es una recta paralela al otro eje coordenado. En GeoGebra un cilindro se obtiene, por ejemplo, considerando la curva como una función de dos variables z=f(x) y de forma automática se genera el cilindro con directriz el eje y. De la misma manera la función z= f(y) representa un cilindro con directriz el eje x, sin embargo la expresión y=f(x) es considerada como una curva en el plano xy y no como una superficie. En esta actividad se muestra: Un Cilindro elíptico, un Cilindro hiperbólico, un Cilindro generado por una función coseno y un Cilindro generado por una espiral,

• 1. CILINDROS

En matemáticas, formalmente, una Superficie es un objeto topológico que localmente es homeomorfo al plano. Intuitivamente una Superficie se puede interpretar como la parte exterior de un cuerpo. La representación geométrica de una superficie se realiza en el espacio y corresponde a la gráfica de una función de dos variables. Existen diversos tipos de superficies por lo cual el objetivo de este capítulo es el de ilustrar la manera de construir en GeoGebra, las denominadas [b]Superficies de revolución.[/b]

• 1. LA SUPERFICIE GENERADA POR UNA ASTROIDE.
• 2. LA SUPERFICE GENERADA POR UNA FUNCIÓN CÚBICA
• 3. UN TORO
• 4. HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN.
• 5. UN "TROMPO NO SUAVE".

En términos algebraicos, una [b]Superficie explícita[/b] se define por una expresión de la forma z=f(x,y) y Geogebra reconoce y representa, de forma automática, esta expresión como una superficie. Las siguientes actividades ilustran este hecho.

• 1. EL CONOIDE DE PLUCKER
• 2. UN "COSENOIDE".
• 3. "DOS MONTAÑAS"
• 4. UNA ROSA
• 5. LA SUPERFICIE DEFINIDA POR UNA FUNCIÓN RACIONAL.

Una [b]Superficie en forma paramétrica[/b] se define como la imagen de una función vectorial continua r(u, v)= (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) definida en una región R del plano uv.

• 1. LA BANDA DE MOBIUS
• 2. EL CONOIDE DE PLUCKER DE VARIOS PLIEGUES
• 3. UN CONOIDE SINUSOIDAL.
• 4. UNA CINTA
• 5. EL PARAGUAS DE CARTAN
• 6. EL PARAGUAS DE WHITNEY