[math]q_A:=X^T \; M \; X + a^T \; X + a_0 = 0[/math][br][math]M \, := \, \left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\-2&3&-1\\0&-1&-1\\\end{array}\right) ,\quad a=\left( \begin{align}2 \\ -2 \\ 0 \end{align}\right), \quad a_0=-1[/math][br][br]q[sub]A[/sub]: =[color=#0000ff] x²[/color] + 3y² - z² [color=#0000ff]- 4x y [/color]- 2y z + [color=#0000ff] 2x [/color]- 2y = 1[br]===> quadratisch ergänzen[br](x + [color=#0000ff]1 - 2y[/color])² [color=#0000ff]- (1 - 2y)²[/color] + 3y² - z² - 2y z - 2y = 1[br]l========l=>[color=#0000ff]-y² - 2y z + 2y[/color] - z² - 1 = 1[br](x + 1 - 2y)² - (y +[color=#0000ff] z - 1[/color])² [color=#0000ff]+ (z - 1)²[/color] - z² - 1 = 1[br]l=================l=>-2z = 1[br]Koordinatenwechsel[br]q[sub]N[/sub]:=x[sub]o[/sub]² - y[sub]o[/sub]² - z[sub]o[/sub] = 1[br][br]===>[br][br]Affine Transformation [br]Koordinatenwechsel: Ersetzen des KO(x,y,z) durch KO(x[sub]o[/sub],y[sub]o[/sub],z[sub]o[/sub]) - umstellen T' zu T[br][math]T' \, := \, \left\{ x_o = x - 2 \; y + 1, y_o = y + z - 1, z_o = 2z \right\} \to \quad T \, := \, \left\{ x = x_o + 2 \; y_o - 2 \; z_o + 1, y = y_o - z_o + 1, z =\frac{1}{2} z_o \right\} [/math][br][br][math]\phi(X) \, := \, A \; X +t[/math]  [br][math]A \, := \, \left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\0&1&1\\0&0&2\\\end{array}\right) ,\quad t \, := \, \left( \begin{align}1 \\ -1 \\ 0 \end{align} \right) [/math] [br][math] Q \in q_{A} \to Q' = ϕ\left(Q \right) \in q_{N} [/math][br][br]Koordinatenwechsel Matrixgleichung: (umstellen [math]\phi(X) \to \phi^{-1}(X)[/math])[br][math]\phi^{-1}(X) \, := \, A^{-1}( \; X - t)[/math] [br][math]q_\phi: \, \left(X - t \right) \; \left(A^{-1} \right)^{T} \; M \; A^{-1} \; \left(X - t \right) + a \; A^{-1} \; \left(X - t \right) = -a_0[/math]

User-Funktion zum Auslesen der Koeffizienten [br][br]cA:=Coefficients(q_A)[br][math]k(aa) \, := \, Element \left(cA,IndexOf \left(aa, \left\{ x^{2}, y^{2}, z^{2}, a0, xy, xz, yz, x, y, z \right\} \right) \right)[/math][br]k(a) ==> Koeffizent zu a aus cA[br][br]Sammle alle zu einem quadratischen Summanden gehörenden Summanden auf und bilde das Binom[br]z.B. [br]a x[sup]2[/sup] + b xy + c xz + d x ===> a(x + 2 x ( b y + c z + d)/(2a)) ===> a( x + ( a y + b z + c )/(2a))^2[br]k(x^2) ( [color=#0000ff]x[/color] +( k(xy) [color=#0000ff]y[/color] + k(xz) [color=#0000ff]z[/color] + k(x) )/( 2 k(x^2)) )^2[br][br]und ziehe das Binom b[sub]x[/sub] = 1 (x - 2y + 1)² von q_A ab [br]b[sub]x[/sub]:=sqrt(abs(k(x^2))) (x + Expand((k(xy) y +k(xz) z+ k(x))/( 2 k(x^2)))))[br]q_x:=LeftSide(q_A) - sgn(k(x^2)) b_x^2[br][br]nächster quadratischer Summand aus dem restlichen Term [br][br]cB:=Coefficients(q_x+x^2+y^2+z^2) - {1,1,1,...}[br][br]In der App werden die Binome zu x^2,y^2, und z^2 erstellt ohne Fallunterscheidungen anzustellen - diese Zeilen müssen für andere Aufgaben ggf. individuell angepasst (ausgelassen) werden, wenn sie nicht benötigt werden. [br][br][color=#cc0000]Gemischte Summanden wie xy,xz,yz (werden ggf. als EINE Variable erkannt) unbedingt mit x*y oder x y eingeben![br]Coefficients() liefert ggf. keine komplette Koeffizientenliste zu x,y,z (Bug im CAS) addiere fehlende quadratischen Summanden (x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]) ziehe sie -{1,1,1..} wieder ab um eine komplette Liste zu erhalten - individuelle Anpassung notwendig![/color]