[list][*]Se [math]xy>0[/math], em quais quadrantes pode estar o ponto [math]P = (x,y)[/math]? [/*][*]Dê dois exemplos de pontos assim.[/*][/list]
[list][*]Se [math]xy<0[/math], em quais quadrantes pode estar o ponto [math]P = (x,y)[/math]? [/*][*]Dê dois exemplos de pontos assim.[/*][/list]
[list][*]No gráfico abaixo, vamos achar as coordenadas do ponto [math]C[/math] que faz(em) o triângulo [math]ABC[/math] ser equilátero.[br][/*][*]Os números em vermelho são os comprimentos dos lados.[br][/*][*]Para começar, tente fazer o triângulo ficar equilátero movimentando o ponto [math]C[/math] com o mouse (ou dedo, se estiver em uma tela [i]touch[/i]). [/*][*]Só pare de tentar quando já estiver muito frustrado.[/*][/list]
[color=#ff0000]Deixe o controle deslizante em [/color][math]a=2[/math][color=#ff0000].[/color] Faça o seguinte:[br][br]1. Calcule a distância de [math]A[/math] até [math]B[/math] analiticamente. Confira o resultado com o valor que aparece na figura.
2. [color=#ff0000]Esqueça o ponto [/color][math]C[/math][color=#ff0000] da figura.[/color] [br][br][list][*]Chame as coordenadas do ponto [math]C[/math] que estamos procurando de [math](x,y)[/math]. [/*][*]Escreva uma expressão para a distância entre [math]A[/math] e [math]C[/math]. [/*][*]Iguale esta expressão ao valor da distância entre [math]A[/math] e [math]B[/math] (pois queremos que o triângulo seja equilátero). [/*][*]Use a expressão [i]exata[/i] para a distância entre [math]A[/math] e [math]B[/math], com a raiz quadrada e tudo (em vez da aproximação numérica).[/*][/list]
[math]\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=2 \sqrt{2}[/math], ou, rearrumando, [math](x-2)^2+y^2=8[/math]. [br][br]Expandindo tudo: [math]x^2+y^2-4x+4=8[/math]
3. Escreva uma expressão para a distância entre [math]B[/math] e [math]C[/math]. [br]4. Iguale esta expressão também ao valor da distância entre [math]A[/math] e [math]B[/math].
[math]\sqrt{x^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}[/math], ou, rearrumando, [math]x^2+(y-2)^2=8[/math]. [br][br]Expandindo tudo: [math]x^2+y^2-4y+4=8[/math]
5. Iguale as duas expressões que você achou nos dois itens anteriores. [br]6. Simplifique esta igualdade até não poder mais.[br]7. A qual igualdade singela você chegou?
8. Faça a substituição usando a igualdade do item anterior em uma das equações do item (2) ou (3). Tanto faz qual você escolher.[br][br]9. Rearrume tudo. A que equação do segundo grau você chegou?
Usando o item (2):[br][br][math]2x^2-4x+4-8=0[/math].[br][br]Ou [math]2x^2-4x-4=0[/math].[br][br]Ou, ainda, [math]x^2-2x-2=0[/math].
10. Resolvendo a equação do segundo grau, você vai chegar a dois valores de [math]x[/math]. [br][br]11. Cada um destes valores corresponde a um valor de [math]y[/math]. Qual e qual?[br][br]12. Agora, volte ao aplicativo lá em cima e entre na barra de [i]input[/i] (na parte de baixo da janela), [color=#ff0000]usando os valores dos dois pares de coordenadas [math](x,y)[/math] que você achou (um par de cada vez)[/color] o seguinte texto:[br][br][center][code]C=(x,y)[/code][/center][br][color=#ff0000]Substitua [code]x[/code] e [code]y[/code] pelos valores que você achou, claro.[/color][br][br]13. O ponto [math]C[/math] com as duas coordenadas negativas fica onde?
[code]C = (1 - sqrt(3), 1 - sqrt(3))[/code] e [code]C = (1 + sqrt(3), 1 + sqrt(3))[/code].[br][br]Ou, usando as aproximações numéricas:[br][br][code]C = (-0.73, -0.73)[/code] e [code]C = (2.73, 2.73)[/code].
[list][*]Você sabia que o Geogebra tem um CAS ([i]Computer Algebra System[/i])?[/*][*]Nele, você pode fazer computação simbólica.[/*][*]Veja o aplicativo abaixo:[/*][/list]
[list][*]Na primeira linha, entrei uma equação do segundo grau.[/*][*]Na segunda linha, usei o comando [code]solve[/code] para achar as raízes da equação.[/*][*]Para ver os valores numéricos (aproximados), selecione a linha 2 (clicando em qualquer lugar dela) e aperte o botão [icon]/images/ggb/toolbar/mode_numeric.png[/icon].[br][/*][*]Agora, entre a equação do segundo grau do item (9) do problema do triângulo equilátero e faça o Geogebra resolvê-la.[br][/*][/list]
[list][*]Você está aprendendo programação.[/*][*]Um programa é escrito uma só vez, mas pode resolver uma quantidade imensa de problemas.[/*][*]No gráfico lá em cima, existe um controle deslizante para o valor de [math]a[/math]. Brinque com ele. [color=#ff0000][br][/color][/*][*][color=#ff0000]Isto vai estragar o seu triângulo equilátero.[/color][/*][*]Perceba que os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] têm as coordenadas [math](a,0)[/math] e [math](0,a)[/math], respectivamente.[/*][*]Refaça todos os passos para construir o triângulo equilátero, desta vez usando [math]a[/math] em vez de 2.[/*][*]Você vai chegar a coordenadas de [math]C[/math] que são expressões em função de [math]a[/math].[/*][*]Resolva a equação de segundo grau à mão, e depois no CAS do Geogebra.[/*][*]No final, entre no primeiro aplicativo, lá em cima, a expressão [code]C=(..., ...)[/code], onde as reticências são as expressões que você achou.[br][/*][*]Feito isto, brinque com o controle deslizante do valor de [math]a[/math] e veja que o triângulo continua equilátero.[color=#ff0000][br][/color][/*][*]Parabéns. Você resolveu o problema para todos os valores de [math]a[/math] (menos um, na verdade; qual?).[/*][/list]
Você vai chegar a[br][br][math]C = \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \; a, \;\; \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \; a \right)[/math][br][br]e a[br][br][math]C = \left( \frac{-\sqrt{3} + 1}{2} \; a, \;\; \frac{-\sqrt{3} + 1}{2} \; a \right)[/math][br]