Considere uma parábola com equação cartesiana [math]\left(y-y_0\right)=a\left(x-x_0\right)^2[/math] com [math]a\in\mathbb{R}[/math], vértice [math]v=\left(x_0,y_0\right)[/math] e reta focal paralela ao [math]eixo-OY[/math]. Uma forma de parametrizar essa curva seria:[br][math]x-x_0=t\Longrightarrow x=t+x_0[/math][br][math]y=y_0+a\left(x-x_0\right)^2\Longrightarrow y=at^2+y_0[/math][br]Onde [math]t\in\mathbb{R}[/math].[br][br][i]Caso você encontre, nos seus exercícios, parábolas na forma [/i][math]y=ax^2+bx+c[/math][i], com [/i][math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math][i], note que ela é essencialmente igual à parábola apresentada aqui, basta você completar quadrados e agrupar os termos de forma conveniente, chegando ao mesmo resultado (é um bom exercício para treinar habilidades de Matemática Básica).[/i][br][br][list][*]Abaixo, você encontra um parábola parametrizada da maneira que aqui fora exposto. Você poderá escolher os parâmetros [math]a,x_0,y_0[/math] (observe o que acontece com a equação cartesiana da parábola e com a parábola em si) e poderá variar o parâmetro [math]t[/math] para ver a trajetória do ponto [math]P[/math] pertencente à parábola.[/*][*]Ademais, note que existem duas caixas de seleção contendo a parábola tal que: [math]y=y\left(x\right)[/math], ou seja, o [math]y[/math] estará em função de [math]x[/math]; ou [math]x=x\left(y\right)[/math], isto é, [math]x[/math] estará em função de [math]y[/math]. Selecione uma de cada vez, para não haver um incômodo visual.[/*][/list]

Uma parábola descrita pela equação reduzida [math]x^2=4py[/math], com [math]p>0[/math], pode ser descrita também através das seguintes equações paramétricas:[br][math]x=4p\tan\left(\theta\right)[/math][br][math]y=4p\tan\left(\theta\right)^2[/math][br]onde [math]\theta[/math] é um ângulo variando entre [math]\left[0,\pi\right][/math]. [br][br]A construção abaixo ilustra esta forma de escrever a Parábola (varie os valores de [math]\theta[/math]).

Além dessa, podemos ter inúmeras. O fato é que uma parábola com vértice [math]v=\left(x_0,y_0\right)[/math], coeficiente líder [math]a[/math] (aquele que acompanha [math]x^2[/math]) e eixo focal paralelo ao [math]eixo-OY[/math] ([math]y[/math] em função de [math]x[/math]) poderá ser parametrizado da seguinte forma:[br][math]x=g\left(t\right)+x_0[/math][br][math]y=a\cdot g\left(t\right)^2+y_0[/math][br]Onde [math]t\in\mathbb{R}[/math], em geral. Porém, pode ser que mude, mas não costuma ser algo complicado para determinar. Além disso, é importante observar que a função [math]g\left(t\right)[/math] escolhida deve ser tal que [math]g[/math] seja sobrejetiva em [math]\mathbb{R}[/math]. [i]Se você testar funções como [/i][math]sen\left(t\right),cos\left(t\right),sec\left(t\right)[/math][i] ou [/i][math]t^{2k},k\in\mathbb{Z}[/math][i], você verá que, não importa o intervalo de [/i][math]t[/math][i], não será possível completar a parábola. Você saberia dizer o porquê?[/i][br][list][*]Abaixo, observe cinco maneiras de parametrizar uma parábola. Junto de cada parametrização, haverá um ponto [math]P[/math] para que você veja a trajetória variando o parâmetro [math]t[/math]. Ademais, haverá caixas que você poderá selecionar para ver cada uma das parábolas, basta clicar para aparacer/desaparecer. Sugerimos que não selecione várias de uma vez, pois isso pode ficar confuso.[/*][/list]