Aufgabe 2

[size=200][b]VIII. Aufgaben[/b][/size]

Aufgabe 2

Im schriftlichen Zentralabitur Mathematik 2023 ging es u.a. um den Mittelteil einer Hängebrücke, bei dem für das Tragseil die Funktion [br][math][br]s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560 x^2 \right) + \frac{125}{256}[br][/math][br]angegeben war. [br]Eine Längeneinheit entspricht dabei 10m in der Realität. Der Mittelteil ist 400m lang.

a) Berechnen Sie die Höhe des Tragseils über der Fahrbahn an seiner tiefsten Stelle

ca. 4,88m ca. 0,488m ca. 2,05m

b) Berechnen Sie die Höhe der Pfeiler über der Fahrbahn.

ca. 50,05m ca. 45,17m ca. 5,005m

c) Stellen Sie mit Hilfe der Werte aus a) und b) die Gleichung einer Parabel auf, die durch den tiefsten Punkt [math]\left(0 \,\vert\, s(0) \right)[/math] und durch die Pfeilerspitzen [math]\left(20 \,\vert\, s(20) \right)[/math] bzw. [math]\left(-20 \,\vert\, s(-20) \right)[/math] verläuft.[br]Bestimmen Sie außerdem die erforderlichen Parameter für eine Kettenlinie, die durch diese drei Punkte verläuft. Zeichnen Sie alle drei Funktionsgraphen mit Hilfe eines GeoGebra-Applets.[br]Welche Funktion dürfte für die reale Konstruktion der Brücke am besten geeignet sein?

Der Graph der Parabel, weil bei diesem Graphen alle Halteseile gleich viel Last zu tragen haben, wenn das Gewicht von Trag- und Halteseilen klein im Vergleich zum Gewicht der Fahrbahn ist. Der Graph von [i]s[/i]([i]x[/i]), weil er im Mittelteil zwischen Pfeilerspitze und Tiefpunkt am dichtesten an der Fahrbahn liegt und somit kürzere Halteseile erforderlich sind als bei den anderen Varianten. Der Graph müsste zwischen den Graphen B und C liegen, wenn auch berücksichtigt wird, dass Tragseil und Halteseile ein Eigengewicht haben. Da dieses aber gering sein dürfte im Vergleich zum Gewicht der Fahrbahn müsste der Graph dichter an der Parabel C liegen. Der Graph der Kettenlinie, weil das Tragseil bei einer Hängebrücke immer die Form einer Kettenlinie haben sollte.

Anmerkung

Während die Parabel und die Kettenlinie außerhalb der Pfeiler nur wenig und zwischen den Pfeilern noch weniger voneinander abweichen, liegt die in der Aufgabenstellung vorgegebene Funktion (Polynom 4.Grades) außerhalb der Pfeiler deutlich oberhalb und zwischen Pfeilern und Tiefpunkt noch knapp erkennbar unterhalb von den beiden anderen.[br]Ein Taylorpolynom 4.Grades für die Kettenlinie würde fast gar nicht von der Kettenlinie abweichen.[br]So bleibt es das Geheimnis des Autoren / der Autorin der Aufgabe, warum gerade diese Funktion [i]s[/i]([i]x[/i]) für die Aufgabe gewählt wurde. Zwischen dem Tiefpunkt und den Pfeilern wären einige Halteseile deutlich zu kurz und würden so stärker belastet als andere.

Aufgabe 2

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Anmerkung

Information: Aufgabe 2