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Volumen einer Pyramide

clotter, MatheForschermeetsGeoGebra, Franziska Bubeck, Jul 18, 2023

Beweis der Volumenformel für Pyramiden

Pyramide und Würfel
1. Einführung: Volumenvergleich
2. Anwendung: Spezialfall [schiefe Pyramide]
Satz von Cavalieri
1. Einführung: Satz von Cavalieri
2. Anwendung: Spezialfall [schiefe Pyramide]
Pyramide und Prisma
1. Einführung: Zerlegung eines Prismas
2. Anwendung: Volumenvergleich
3. Veranschaulichung: Pyramide

Pyramide und Würfel

1. Einführung: Volumenvergleich
2. Anwendung: Spezialfall [schiefe Pyramide]

Einführung: Volumenvergleich

Ziel ist es, die Formel für das Volumen einer Pyramide anschaulich zu begründen.

[u]Aufgabe[/u]: Schätze, wie groß das Volumen der Pyramide im Vergleich zum Würfel ist.[br]Nutze für deine Abschätzung das Prisma. Dieses lässt sich bei Bedarf einblenden.

[i]Hinweis[/i]: Häufig ist es sinnvoll, die Objekte aus unterschiedlichen Perspektiven zu betrachten. [br]Aktiviere den [size=100][size=100][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/3/34/Algebra_hidden.svg/16px-Algebra_hidden.svg.png[/img] [/size][/size]Sichtbarkeits-Button in der Algebra-Ansicht, um ein Objekt anzuzeigen.

Abschätzung

[math]\frac{1}{4}\cdot V_{Würfel}[/math]<[math]V_{Pyramide}[/math]<[math]\frac{1}{2}\cdot V_{Würfel}[/math] [math]\text{[br][br]}V_{Prisma}=\frac{1}{2}\cdot V_{Würfel}[/math] keine dieser Antwortmöglichkeiten [math]V_{Pyramide}=\frac{1}{4}\cdot V_{Würfel}[/math]

1.2.

2.

Satz von Cavalieri

1. Einführung: Satz von Cavalieri
2. Anwendung: Spezialfall [schiefe Pyramide]

2.1.

Einführung: Satz von Cavalieri

[size=150][size=100]Wir betrachten zwei Körper, deren Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche jeweils den gleichen Flächeninhalt haben.[br][br]Der Satz von Cavalieri sagt aus:[/size][br][/size][size=150]Zwei Körper mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe haben das gleiche Volumen.[/size][br][size=150][br][/size]

[u]Aufgabe[/u]: Ziehe an dem Schieberegler, um dies nachzuvollziehen. Du kannst zwischen zwei Darstellungsformen wechseln, indem du die Häkchen unter "Wahrheitswert" anders setzt. Finde jeweils die oben genannten Schnittflächen.

2.2.

3.

Pyramide und Prisma

1. Einführung: Zerlegung eines Prismas
2. Anwendung: Volumenvergleich
3. Veranschaulichung: Pyramide

3.1.

Einführung: Zerlegung eines Prismas

[size=150]Ziel ist es zu zeigen, dass die Volumenformel auch für eine beliebige ([i]n-seitige[/i]) Pyramide gilt.[/size][br][br][b]Idee:[/b] Zerlegung eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche in drei Pyramiden.[br]

Anschaulicher Beweis

[u]Aufgabe[/u]: Vergleiche die Pyramiden [math]P_1[/math] und [math]P_2[/math].[br]Notiere deine Überlegungen. [Schlagworte: [i]Grundfläche[/i], [i]Höhe, Volumen[/i]]

[u]Aufgabe[/u]: Welche Aussagen treffen zu?

Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe besitzen das gleiche Volumen. [math]h_1=h_2[/math], also [math]V_{P_1}=V_{P_2}[/math] [math]G_1=G_2[/math] und [math]h_1=h_2[/math] , also [math]V_{P_1}=V_{P_2}[/math] [math]G_1=G_2[/math], also [math]V_{P_1}=V_{P_2}[/math] [math]G_1=G_2[/math], also [math]V_{P_1}=V_{P_2}=V_{P_3}[/math] keine dieser Antwortmöglichkeiten

[u]Aufgabe[/u]: Ergänze deine Überlegungen.

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