Satz des Pythagoras

Ausgangsbeispiel

Vor vielen Jahren stritten sich 3 wohlhabende Bauern Achim, Bernd und Claudius, wer von ihnen[br]das größte Feld hätte. Sie fanden nachfolgende Skizze von ihren Ländereien. Sie hatten aber keine exakten Längenangaben und gaben folgendes an:[br][br]Das quadratische Feld von Achim habe die Seitenlänge a,[br]das quadratische Feld von Bernd habe die Seitenlänge b,[br]das quadratische Feld von Claudius habe die Seitenlänge c.[br][br]Da Achim und Bernd schnell erkannten, dass sie einzeln schlecht wegkamen, taten sie sich zusammen und meinten, zusammen hätten sie nun die größere Fläche. Sie bitten dich um Hilfe.

AUFGABE 1

Versuche aus den 5 Teilen der Felder von Achim und Bernd ein neues quadratisches Feld zusammenzulegen. Ziehe dazu an den grauen Punkten. Vergleiche dessen Größe mit der vom Feld von Claudius.

Beschreibe kurz, was du beobachtet hast.

AUFGABE 2

Welche Formel ergibt sich daraus für die Fläche von Claudius?

b² - a² = c² a + b = c² a² - b² = c² a² + b² = c²

Tipp zu Aufgabe 2

Fortführung Ausgangsbeispiel

Achim und Bernd trauen der Skizze von oben nicht. Sie wollen nicht wahrhaben, dass die Fläche ihrer Felder zusammen nicht größer ist als die von Claudius. Um zu prüfen, ob das wirklich stimmt, haben sie die Seitenlänge ihrer Felder gemessen:[br][br]Das quadratische Feld von Achim habe die Seitenlänge a = 4,[br]das quadratische Feld von Bernd habe die Seitenlänge b = 3.[br][br]Sie bitten dich wieder um Hilfe.

AUFGABE 3

Welchen Flächeninhalt müsste nach Aufgabe 1 und 2 die Fläche von Claudius haben?

AUFGABE 4

Übertrage die Skizze der Felder in dein Heft. Zeichne dafür ein rechtwinkliges Dreieck mit folgenden Maßen: [br]a = 4 cm, b = 3 cm. Die Seitenlänge c bekommst du, indem du die Punkte A und B verbindest. [br]Zeichne dann über jede Dreiecksseite ein Quadrat (siehe nachfolgende Abbildung).[br]Solltest du kein Geodreieck haben, kannst du auch eine Skizze auf deinem Tablet machen.

AUFGABE 5

a) Miss die Seitenlänge c. Wie lang ist diese? [br] Solltest du es auf deinem Tablet skizziert haben, so prüfe in der nachfolgenden Abbildung die [br] Seitenlänge c.

b) Wie groß ist somit der Flächeninhalt des Feldes von Claudius (c²)?

c) Übertrage die Werte von c und c² in deine Zeichnung.

AUFGABE 6

Bestimme die richtigen Aussagen!

Die Hypotenuse c ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist immer die unterste Seite im Dreieck. Die beiden Katheten a und b bilden den rechten Winkel. Die Hypotenuse c liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten a und b müssen stets gleich lang sein.

Der Satz des Pythagoras

Bewege den Punkt C, um die Längen der Katheten a und b zu ändern.[br]Verändere zudem den Schieberegler, um die Größe des Dreiecks zu verändern.

AUFGABE 7

Was passiert, wenn bei einem rechtwinkligen Dreieck (hier y=90°) die Seitenlängen verändert werden? [br]Bestimme die richtigen Aussagen.

Die Fläche von C lässt sich durch die Fläche von A und die Fläche von B zusammensetzen. Es gilt: [math]a^2+b^2=c^2[/math] (Satz des Pythagoras) Die Fläche von C lässt sich nicht mehr durch die Fläche von A und die Fläche von B zusammensetzen. [math]a^2+b^2\ne c^2[/math]

AUFGABE 8

Wie kann nun mit Hilfe des Satzes von Pythagoras (a²+b² = c²) die Seitenlänge c berechnet werden?

[math]c=a+b[/math] [math]c=a^2+b^2[/math] [math]c=\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}[/math] [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math]

Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Bewege den Punkt C und beobachte, wie sich der Winkel y', die Seitenlängen und die Flächeninhalte verändern.

AUFGABE 9

Was passiert, wenn der Winkel y' nicht 90° beträgt und die Seitenlängen verändert werden?

Die Fläche von C lässt sich nicht mehr durch die Fläche von A und die Fläche von B zusammensetzen. Die Fläche von C lässt sich durch die Fläche von A und die Fläche von B zusammensetzen. Es gilt: a²+b² = c² Der Satz des Pythagoras (a²+b²=c²) kann nicht angewendet werden.

AUFGABE 10

Mit dem Satz des Pythagoras kann man Seitenlängen berechnen in jedem ...

... stumpfwinkligen Dreieck. ... spitzwinkligen Dreieck. ... gleichschenkligen Dreieck. ... rechtwinkligen Dreieck.

AUFGABE 11

Schaue dir noch einmal das Dreieck oben an. [br]Mit welcher Formel kann die Seitenlänge b berechnet werden, wenn die Seitenlängen a und c gegeben sind?

[math]b=\sqrt{a^2-c^2}[/math] [math]b=\sqrt{c^2-a^2}[/math] [math]b=\sqrt{a^2+c^2}[/math]

AUFGABE 12

Wenn 2 Seitenlängen in einem Dreieck gegeben sind und die 3. Seite berechnet werden soll, dann ...

... kann immer der Satz des Pythagoras angewendet werden? ... kann der Satz des Pythagoras angewendet werden, wenn das Dreieck einen rechten Winkel hat. ... muss ich schauen, welche Seite die Hypotenuse und welche Seiten die Katheten sind.