Bei der Standardnormalverteilung ist der Erwartungswert gleich [math]\,u=0[/math] und die Standardabweichung [math]\sigma=1[/math]. Dass heißt die einfache [math]\sigma[/math]-Umgebung ist das Intervall [math][-1;1][/math], die zweifache [math]\sigma[/math]-Umgebung ist das Intervall [math][-2;2][/math] u.s.w..[br]Wenn man über die Standardnormalverteilung von [math]-1[/math] bis [math]1[/math] integriert, bekommt man - wie in den Sigmaregeln beschrieben - [math]0,683=68,3\%[/math] heraus.[br][br]Die Funktionsgleichung der Standardnormalverteilung ist [math]\varphi_{0,1}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}[/math][br][br]Um die Vielfachheit [math]c[/math] der [math]\sigma[/math]-Umgebung für eine vorgegebene Sicherheitswahrscheinlichkeit ([math]\text{SWS}[/math]) zu berechnen, muss also de folgende Gleichung nach [math]c[/math] aufgelöst werden:[br][math]\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-c}^{c} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx =\text{SWS}[/math][br]Beispiel: [br]Für eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von [math]\text{SWS}=80\%[/math] muss folgende Gleichung gelöst werden:[br][math]\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-c}^{c} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx =0,8[/math][br][br]Mit dem HP-Prime macht man das mit folgender Anweisung:[br][b][color=#0000ff]solve[/color][/b][math]\fgcolor{#0000FF}{\left(\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-c}^{c} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx =0.8,c\right)}[/math] oder [b][color=#0000ff]solve(normal_cdf(0,1,-c,c)=0.8, c)[/color][/b][br]Mit Geogebra ist das im CAS-Modus auch möglich:[br][color=#0000ff]nlöse(Normal(0,1,c,true)-Normal(0,1,-c,true)=0.8,c)[/color][br][br]In der folgenden App können Sicherheitswahrscheinlichkeiten eigegeben werden und als Ergebnis wird diese als Fläche unter der Standardnormalverteilung abgebildet und das dazu gehörende c wird berechnet:

Wenn man in das folgende Geogebra-Applet das Vielfache der Sigmaumgebung [math]c[/math] eingibt, erhält man die Sicherheitswahrscheinlichkeit als Ergebnis: