Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli [u]alterni interni[/u] [b]congruenti[/b], allora le rette sono [b]parallele[/b].[br][br][u]Ipotesi[/u]: [math]\alpha[/math] [math]\cong[/math] [math]\beta[/math][br][br][u]Tesi[/u]: r [math]\parallel[/math] s[br][br][u]Dimostrazione[/u] per assurdo[br][br]Supponiamo che le rette r ed s [u]non siano parallele[/u]. Allora esiste un punto in cui r ed s si incontrano, che chiamiamo P. [br]Si forma un triangolo APB di cui [math]\alpha[/math] è un angolo esterno. [br]Per il primo teorema dell'angolo esterno, [math]\alpha[/math] (rosso) deve essere maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti e quindi, deve essere [br][math]\alpha[/math] > [math]\beta[/math] (blu) . Ma [math]\alpha[/math] [math]\cong[/math] [math]\beta[/math] per ipotesi, ASSURDO. [br]Abbiamo trovato una contraddizione dovuta al fatto che abbiamo supposto che la tesi fosse falsa. Pertanto, r ed s devono essere parallele.

Se due rette sono [b]parallele[/b], allora, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli [u]alterni interni[/u] [b]congruenti[/b].[br][br][u]Ipotesi[/u]: r [math]\parallel[/math] s[br][br][u]Tesi[/u]: [math]\alpha[/math] [math]\cong[/math] [math]\beta[/math][br][br][u]Dimostrazione[/u] per assurdo[br][br]Supponiamo che i due angoli [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math] [u]non siano congruenti[/u]. Allora, possiamo tracciare la retta t' passante per A che forma con t un angolo [math]\alpha[/math]' [math]\cong[/math] [math]\beta[/math].[br]Ma allora si avrebbe:[br][list][*]t' [math]\parallel[/math] r per il criterio di parallelismo perchè t' ed r, tagliate dalla trasversale t, formerebbero una coppia di angoli alterni interni congruenti [/*][*]s [math]\parallel[/math] r per ipotesi.[/*][/list][br]Cioè avremmo due rette distinte, t' ed s, passanti per A e parallele ad r. Ma questo è [u]assurdo[/u] perchè l'[u]assioma della parallela[/u] afferma che la retta parallela ad una certa retta e passante per un punto è [b]unica[/b].[br]Pertanto, la tesi non può essere falsa e quindi, gli angoli [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math] sono congruenti.

Questi due teoremi possono essere riassunti in uno solo:[br][br]Due rette sono [b]parallele[/b] [u]se e solo se[/u], tagliate da una trasversale, formano una coppia di [u]angoli alterni interni[/u] [b]congruenti[/b].