Der Umfang eines Kreises mit dem Radius [math]r[/math] ist [math]U=2\cdot\pi\cdot r[/math]. Der Mantel einer Kreisscheibe, also ein hohler Zylinder ohne Deckel mit der Höhe [math]h[/math], hat die Fläche [math]F=U\cdot h=2\cdot\pi\cdot r\cdot h[/math].[br]Einen Rotationskörper kann man nun aus lauter solchen Hohlzylindern zusammensetzen. Diese haben den Radius [math]f(x)[/math] und als Höhe des Zylinders wird das Stück aus dem Funktionsgraphen [math]dL=\sqrt{dx^2+df^2}=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx[/math] eingesetzt (siehe Kapitel "Bogenlänge"). [br][br]Daraus folgt für die Mantelfläche eines solchen schmalen Hohlzylinders: [math]dM = 2\cdot \pi\cdot f(x)\cdot \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx[/math].[br][br]Um alle Hohlzylinder zur Mantelfläche aufzusummieren, verwendet man wieder ein Integral:[br][br][math]\Large{\boxed{M = 2\, \pi\cdot\int\limits_a^b f(x)\cdot \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx}} [/math]

Mit den

Die Funktionsgleichung der oben abgebildeten Funktion ist [math]f(x)=\frac{1}{8} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} + \frac{19}{4} \; x[/math]. Das mit den angedeuteten Hohlzylindern ausgefüllte Intervall ist [math]x\in[0;3][/math]. [br]Die Ableitungsfunktion von [math]f(x)[/math] lautet: [math]f'(x)=\frac 38\,x^2 - 3\,x+\frac{19}{4}[/math][br]Dann ist die Mantelfläche:[br][br][math]M = 2\cdot \pi\cdot \int\limits_0^3 (\frac{1}{8} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} + \frac{19}{4} \; x)\cdot \sqrt{1+\left(\frac 38\,x^2 - 3\,x+\frac{19}{4}\right)^2}\,dx\approx 17,12[/math]