Im folgenden GeoGebra-Fenster ist bereits ein Dreieck vorgezeichnet. Wir möchten nun einen ganz speziellen Kreis in dieses Dreieck einzeichnen. Das Konstruktions-Fenster findest du, wenn du ein Stück nach unten scrollst. Gehe für die Konstruktion wie folgt vor:[br][br][list][*]Konstruiere die drei Höhen des Dreiecks. [br]Wähle dazu das Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon] Senkrechte Gerade, klicke zuerst auf eine Seite des Dreiecks und anschließend auf den gegenüberliegenden Punkt, um eine Höhe zu konstruieren. Wiederhole das für alle drei Seiten.[/*][*]Die drei Höhen schneiden sich in einem einzigen Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Markiere diesen mit dem [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] Schneide-Werkzeug, indem du auf zwei der Höhen klickst.[/*][*]Als nächstes konstruieren wir die drei [i]Fußpunkte der Höhen[/i], also die Punkte, an denen die Dreiecksseiten die Höhen schneiden. Bleibe dazu im [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] Schneide-Werkzeug, klicke auf eine Höhe und anschließend auf die zugehörige Seite. Wiederhole das für alle drei Höhen.[/*][*]Wir bleiben bei den Höhen des Dreiecks. Wähle das [icon]/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon] Mittelpunkt-Werkzeug aus, klicke zuerst auf den Höhenschnittpunkt und anschließend auf einen Eckpunkt des Dreiecks. Wiederhole auch das wieder für alle drei Eckpunkte, du hast erfolgreich die [i]Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte[/i] konstruiert![/*][*]Drei weitere Punkte erhalten wir nun noch relativ einfach: Die Mittelpunkte der Dreiecksseiten. Wähle wieder das Werkzeug [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon] Mittelpunkt und klicke auf die drei Seiten des Dreiecks.[/*][*]Jetzt solltest du, neben dem Höhenschnittpunkt und den drei Eckpunkten vom Dreieck, insgesamt 9 weitere Punkte haben. Fällt dir an diesen Punkten etwas auf?[br][br] Schreibe deine Vermutung in das Kästchen.[br][/*][/list]

[list][*]Jetzt sind wir fast fertig! Konstruiere nun noch den Feuerbach-Kreis.[br]Wähle dazu das Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon] Kreis durch 3 Punkte und klicke auf drei beliebige der oben genannten 9 Punkte.[br][br]Alle diese 9 Punkte sollten genau auf dem Kreis liegen! Den Kreis nennt man auch Feuerbachkreis.[br][br][br]Und das tun sie bei jedem Dreieck! Probiere das aus, indem du die Eckpunkte des Dreiecks mit dem [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] Bewege-Werkzeug verschiebst. [/*][/list]

Falls du jetzt schon ein GeoGebra-Profi bist, kannst du noch folgendes machen: Markiere mit dem [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon] Mittelpunkt-Werkzeug zunächst den Mittelpunkt des Feuerbachkreises. [br][br]Konstruiere nun selbstständig den Umkreismittelpunkt des Dreiecks (Mittelpunkt des Kreises durch die drei Eckpunkte). [br][br]Du wirst feststellen, dass der [b]Mittelpunkt des Feuerbachkreises[/b], der bereits am Anfang konstruierte [b]Höhenschnittpunkt[/b] sowie der [b]Umkreismittelpunkt[/b] genau auf einer Geraden liegen, der [i]Eulerschen Gerade[/i]! Zeichne diese ein und färbe sie rot ein![br][br]Kannst du sonst noch eine Besonderheit beim Betrachten dieser drei Punkte auf der [i]Eulerschen Geraden [/i]feststellen? Schreibe deine Vermutung in das Kästchen.

Und übrigens: Wenn du noch den Überblick in deiner Zeichnung hast, kannst du noch die [i]Schwerlinien[/i] des Dreiecks einzeichnen. Verbinde dazu die Seitenmittelpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten. Die drei [i]Schwerlinien[/i] schneiden sich wieder in einem Punkt, dem [i]Schwerpunkt[/i] des Dreiecks. Und auch dieser liegt auf der magischen [i]Eulerschen Geraden[/i]![br][br][br][br]