El tamiz de Apolonio (o de Leibniz) es una construcción formada por circunferencias tangentes, basada el problema de Apolonio de construcción de circunferencias tangentes.[br][br]El proceso para construir el tamiz es el siguiente:[br][list][*]Dadas tres circunferencias tangentes entre sí, existen [b]dos [/b]circunferencias [b]tangentes comunes.[/b][/*][*]Añadiendo estas nuevas circunferencias, tenemos varios conjuntos de circunferencias tangentes, que tienen a su vez, dos circunferencias tangentes comunes. Una de ellas es nueva, y la otra es de las anteriores.[/*][*]Así sucesivamente, podemos ir añadiendo circunferencias a nuestro conjunto, de forma que siempre van siendo tangentes, obteniendo una figura fractal.[/*][/list]
[list][*]En el primer paso ([b]n=1[/b]) se añaden [b]2 circunferencias[/b]: la circunferencia exterior y otra "interior".[br][/*][*]En el segundo ([b]n=2[/b]), se añaden [b]6 circunferencias[/b]: 3 por la exterior y 3 por la "interior".[/*][*]En el tercero ([b]n=3[/b]), se añaden [b]18 circunferencias[/b]: 3 por cada una de las 6 anteriores.[/*][*]Así sucesivamente...[/*][/list][br][b]Piensa [/b]en las siguientes cuestiones:[list=1][*]¿Podrías decir cuántas circunferencias se añaden en el paso 6? ¿Y en el 10?[/*][*]¿Cuál es la fórmula que, para cada paso [b]n[/b] indica cuántas circunferencias se añaden?[/*][*]¿Cuántas se habrán añadido hasta el paso [b]n[/b]?[/*][*]Considerando las tres circunferencias iniciales, ¿cuántas circunferencias forman el tamiz en el paso [b]n=10[/b]?[br][/*][/list]
[list][*]Fíjate en que, en realidad, muchas circunferencias son muy pequeñas. [/*][*]Además, en los niveles grandes, al haber tantas circunferencias, es posible que nuestro dispositivo no sea capaz de manejar bien tantos datos.[br][/*][*]Por eso, para poder representar tantas, podríamos ir prescindiendo de calcular las circunferencias tangentes a las que son tan pequeñas que apenas se ven. [/*][/list][br]Introduciendo esta "poda" en la construcción del tamiz, justifica si se seguirían añadiendo cada vez más circunferencias o si el proceso seguiría siendo infinito.