Considere um retângulo ABCD onde o comprimento dos lados são AB=4 e BC=8. Sobre os lados BC e AD se fixam os pontos M e N, respectivamente, de modo que o quadrilátero BMDN seja um losango. Calcule a área deste losango.

Para resolver uma questão como esta, é importante visualizar o enunciado. Vamos ver, a seguir, o que acontece. [br]Temos um retângulo ABCD em que precisamos, primeiro determinar a localização correta dos pontos M e N de modo a obter o losango BMDN.[br]Para isso, movimente o ponto M, buscando fazer com que o polígono lilás seja um losango.[br]Marque a caixinha das diagonais para visualizar melhor. Quando terminar, marque a caixinha para exibir o losango e verifique se você conseguiu encontrar o polígono correto.

Agora que já compreendemos o enunciado, precisamos traçar um percurso para determinar a medida da área deste losango. [br]Bem, mas como um losango é um tipo específico de paralelogramo, podemos determinar a área desta figura usando a mesma estratégia que usamos quando calculamos a área de um paralelogramo, ou seja, devemos determinar o resultado da multiplicação entre a medida da base e a medida de sua altura. [br][br]Agora ficou bem mais fácil! Repare que a medida da altura deste paralelogramo é igual a 4. Agora só nos resta determinar a medida de sua base. Vamos considerar que esta medida que precisamos determinar seja representada por "x".[br][br]Veja o que acontece e responda as perguntas a seguir.

Agora só nos resta determinar a medida de sua base. Vamos considerar que esta medida que precisamos determinar seja representada por "x".[br][br]Repare que, como estamos falando de um losango, esta medida é igual ao lado maior do triângulo retângulo formado pelos vértices AMB.[br][br]Para determinar este valor desconhecido é necessário usar uma propriedade comum a todos os triângulos retângulos. Veja o que acontece quando construímos quadrados cujos lados tenham as mesmas medidas dos lados do triângulo retângulo AMB.

Repare que os paralelogramos que encontramos movendo os vértices dos quadrados possuem as mesmas medidas de área e altura de antes.

Na tela a seguir, movimente o vértice para modificar o polígono encontrado novamente.

Novamente, temos paralelogramos sendo transformados em outros paralelogramos. Neste caso em específico, obtivemos retângulos que possuem a mesma base e a mesma altura dos paralelogramos anteriores e, por isso, permanecem tendo a mesma área, ou seja, possuem a área dos quadrados que tínhamos anteriormente.

É exatamente o que o [b]Teorema de Pitágoras [/b]nos diz quando afirma que "a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa". [br]Repare que os quadrados menores foram obtidos a partir dos lados que formam o ângulo reto e, por isso, são chamados de catetos. Por outro lado, o quadrado maior é construído a partir do lado oposto ao ângulo reto e, por isso, recebe o nome de hipotenusa.

Pronto! Agora que já sabemos dessa propriedade, podemos usar essa informação para montar uma equação e determinar o valor desconhecido.[br][br]Voltando ao nosso desenho inicial, temos que os quadrados dos lados menores possuem área igual à 4² e (8 - x)² e o quadrado maior tem área igual à x². Veja como podemos resolver a equação:

Espero que tenham gostado. [br]Se você estiver com alguma dúvida, coloque sua pergunta no fórum.