Exponentialfunktionen spielen in der Mathematik bei der Beschreibung von Wachstumsvorgängen, wie z.B. der Vermehrung von Bakterienkulturen auf einem Nährboden, eine große Rolle (siehe exponentielles Wachstum). Auf der x-Achse würde bei diesem konkreten Beispiel die Zeit in der jeweiligen Einheit und auf der y-Achse die Anzahl der Bakterien stehen. [br][br]Weiterführende Links zum Thema exponentielles Wachstum findest du am Ende des Arbeitsblattes.[br][br]Im Folgenden siehst du nun vier Graphen der Funktionen [math]f\left(x\right)=b^x[/math] (rot), [br][math]g\left(x\right)=a\cdot b^x[/math] (blau), [math]h\left(x\right)=b^{x-c}[/math] (schwarz) und [math]i\left(x\right)=b^x-d[/math] (grün) mit den Parametern a, b, c und d, zu denen jeweils ein Schieberegler in der entsprechenden Farbe gehört.
Aufgaben: [br][br]1. Verändere zunächst nur den Parameter b mithilfe des Schiebereglers und beschreibe den Verlauf des Graphen für verschiedene b. Betrachte nun den Graphen für [math]b=1[/math] und triff eine Aussage über das Wachstum.
Lösung: [br][br]Der Graph liegt für alle Werte von b oberhalb der x-Achse.[br]Für "0 kleiner b, b kleiner 1" fällt der Graph und schmiegt sich dem positiven Teil der x-Achse an.[br]Für "b größer 1" steigt der Graph und schmiegt sich dem negativen Teil der x-Achse an.[br]Für b=1 verläuft der Graph bzw. das Wachstum linear und parallel zur x-Achse. Es findet kein Wachstum statt.
2. Verändere nun nacheinander auch die Parameter b,c und d und beschreibe daraufhin, wie sich die Graphen verändern. Welche Aussagen lassen sich über die verschiedenen Parameter treffen?
Lösung:[br][br]Der Parameter a wird auch Streckfaktor genannt, denn der Graph der Exponentialfunktion [math]g\left(x\right)[/math] wird gestreckt für a>1 oder gestaucht für "0 kleiner a, a kleiner 1".[br]Bei der Funktion [math]h\left(x\right)[/math] bewirkt der Parameter c eine Verschiebung des Funktionsgraphen in [br]x-Richtung. Für c>0 erfolgt die Verschiebung nach rechts, für c<0 nach links.[br]Bei der Funktion [math]i\left(x\right)[/math] bewirkt der Parameter d eine Verschiebung des Funktionsgraphen in [br]y-Richtung. Für d>0 erfolgt die Verschiebung nach oben, für d<0 nach unten.
Zusatz: Wie verändert sich der Graph bei der Funktion [math]f\left(x\right)=b^{-x}[/math]?
Lösung:[br][br]Bei der Funktion [math]f\left(x\right)=b^{-x}[/math] mit negativem x wird der Graph der Funktion [math]f\left(x\right)=b^x[/math] an der y-Achse gespiegelt.