Zuerst teilen wir durch drei, damit die Exponentialfunktion alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht:[br][math]150=3\cdot10^x\qquad \big\vert \;:3[/math][br][math]\Rightarrow 50 = 10^x[/math][br]Dann einen Basiswechel auf die Eulersche Zahl vornehmen:[br][math]\Rightarrow 50 = e^{x\cdot ln(10)}\qquad\big\vert\;ln()[/math][br]Nun den natürlichen Logarithmus anwenden, um den Exponenten der e-Funktion zu erhalten:[br][math]\Rightarrow ln(50)=x\cdot ln(10) \qquad\big\vert\; :ln(10)[/math][br][math]x=\frac{ln(50)}{ln(10)}\approx1,699[/math]

[math]4\cdot 5^{x^2 +3\,x}+16=36\qquad\Big\vert \;-16[/math][br][math]\Rightarrow 4\cdot 5^{x^2 +3\,x}=20\qquad\Big\vert \;:4[/math][br][math]\Rightarrow 5^{x^2 +3\,x}=5[/math][br][math]\Rightarrow e^{ln(5)(x^2 +3\,x)}=5\qquad\Big\vert \; ln()[/math][br][math]\Rightarrow ln(5)(x^2 +3\,x)=ln(5)\qquad\Big\vert \; :ln(5)[/math][br][math]\Rightarrow x^2 +3\,x=\frac{ln(5)}{ln(5)}=1\qquad\Big\vert \; -1[/math][br][math]\Rightarrow x^2 +3\,x-1=0\qquad\Big\vert \; [/math] [math]pq[/math]-Formel anwenden mit [math]p=3[/math] und [math]q=-1[/math]:[br][math]\begin{array}{ll}x_{1,2}&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+1}\\[br]&=-\frac 32\pm\sqrt{\frac 94+\frac 44}\\[br]&=-\frac 32\pm\sqrt{\frac {13}4[br]\end{array}[br][/math][br]also [math]x_1=-\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{13}{4}}[/math] und [math]x_2=-\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{13}{4}}[/math][br]