Geometria Euclidea nel piano

davide_ceoldo, May 2, 2021

La geometria è la branca della matematica che studia le figure, cioè i modelli astratti degli oggetti fisici. Nel piano euclideo "vivono" tutte le figure piane e le loro proprietà si possono dedurre a partire dagli assiomi di Euclide

Table of Contents

  1. La geometria Euclidea
    1. Introduzione alla geometria
    2. I due modi di ragionare della matematica
    3. I concetti primitivi e gli assiomi
    4. Gli assiomi di appartenenza
    5. Gli assiomi d'ordine
    6. Fascio proprio di rette
    7. Le Figure geometriche
    8. Semiretta
    9. Segmenti
    10. Poligonale
    11. Figure concave e convesse
    12. La retta divide il piano in due semipiani
    13. Gli angoli
    14. Poligoni
    15. Unione di poligoni convessi
    16. Intersezione di poligoni concavi
    17. Intersezione di poligoni convessi
    18. Unione di poligoni concavi
    19. Riassunto operazioni tra figure
  2. Dalla congruenza alla misura
    1. Cosa significa congruenza
    2. Costruzioni con riga e compasso
  3. Triangoli
    1. Classification of Triangles
    2. Bisettrici, mediane e altezze
    3. Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli
    4. Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli
    5. Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
    6. Angoli alla base di un triangolo isoscele
    7. Disuguaglianze tra i lati di un triangolo

1.

La geometria Euclidea

  • 1. Introduzione alla geometria
  • 2. I due modi di ragionare della matematica
  • 3. I concetti primitivi e gli assiomi
  • 4. Gli assiomi di appartenenza
  • 5. Gli assiomi d'ordine
  • 6. Fascio proprio di rette
  • 7. Le Figure geometriche
  • 8. Semiretta
  • 9. Segmenti
  • 10. Poligonale
  • 11. Figure concave e convesse
  • 12. La retta divide il piano in due semipiani
  • 13. Gli angoli
  • 14. Poligoni
  • 15. Unione di poligoni convessi
  • 16. Intersezione di poligoni concavi
  • 17. Intersezione di poligoni convessi
  • 18. Unione di poligoni concavi
  • 19. Riassunto operazioni tra figure

1.1.

Introduzione alla geometria

Che cos'è la geometria?
Il mondo che ci circonda mostra un’infinita varietà di forme geometriche, regolari o irregolari, semplici o complesse, simmetriche o asimmetriche.[br]Le forme geometriche che si ritrovano in natura hanno spesso caratteristiche di simmetria, che è sinonimo d’ordine e stabilità.[br]Anche nell’arte spesso vengono privilegiate le strutture simmetriche, che permettono di rappresentare equilibrio e armonia.
Il favo di cera costruito dalle api
Coni e foglie del peccio del Colorado
Le colonne all'interno della Sagrada Familia a Barcellona sono progettate con figure geometriche che ricordano le palme
Vista della volta della Sagrada Familia
Questo mosaico è un esempio di tassellatura nell'arte islamica. Si trova nella città di Fes in Marocco.
Sky and Water. M.C. Escher - 1938
Day and Night. M.C. Escher - 1938
Questa tassellatura è stata scoperta dal matematico Roger Penrose negli anni 1970. Possiede la proprietà di non ripetersi mai pur estendendosi all'infinito (tassellatura non-periodica)
– davide_ceoldo

1.2.

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1.19.

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2.

Dalla congruenza alla misura

  • 1. Cosa significa congruenza
  • 2. Costruzioni con riga e compasso

2.1.

Cosa significa congruenza

Le figure congruenti
Nel linguaggio di tutti i giorni spesso diciamo che due biciclette sono [i]uguali[/i] se queste sono dello stesso modello, ma evidentemente [i]non sono la stessa bicicletta[/i]. Delle volte diciamo pure che in una coppia di gemelli le due persone sono [i]uguali[/i] quando in realtà sono [i]molto simili[/i].[br]Quando abbiamo parlato di insiemi abbiamo detto che[br][quote]Due insiemi si dicono [b]uguali[/b] quando hanno [i]esattamente[/i] gli stessi elementi.[/quote][br]Poi abbiamo detto che le figure geometriche sono degli insiemi di punti. Utilizzando la definizione di uguaglianza appena ricordata potremmo dire che[br][quote]due figure geometriche sono [b]uguali[/b] quanto sono composte [i]esattamente[/i] dagli stessi punti.[/quote][br]Se scriviamo che due figure sono uguali, in simboli [math]F_1=F_2[/math], stiamo intendendo che sono fatte dagli stessi punti e quindi [i]sono la stessa figura[/i].
Per quanto abbiamo appena letto, le due figure qui sopra [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math], si possono definire [i]uguali[/i], o dire che [math]F_1=F_2[/math]?
Figure congruenti
Per descrivere la somiglianza che c'è tra le due figure [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math] appena viste, dobbiamo inventarci una nuova parola: [b]congruenza[/b].[br]Il concetto di congruenza lo prendiamo come concetto primitivo e non lo definiamo, ma possiamo descrivere a parole cosa intendiamo quando diciamo che due figure sono congruenti: sono [i]una la copia dell'altra[/i] e se potessi spostare una figura senza deformarla riuscirei a sovrapporla perfettamente all'altra.[br]In simboli scriverei:[br][math]F_1\cong F_2[/math][br]che si legge: [i][math]F_1[/math]è congruente a [math]F_2[/math][/i]
Gli assiomi di congruenza
[quote]La relazione di congruenza fra le figure del piano gode delle seguenti proprietà:[br][list=a][*]ogni figura è congruente a se stessa [i](proprietà riflessiva)[/i];[/*][*]se la figura [math]F_1[/math] è congruente alla figura [math]F_2[/math], allora [math]F_2[/math] è congruente a [math]F_1[/math][i](proprietà simmetrica)[/i];[/*][*]se la figura [math]F_1[/math] è congruente alla figura [math]F_2[/math] e la figura [math]F_2[/math] è congruente a [math]F_3[/math], allora anche [math]F_1[/math] ed[math]F_3[/math] sono congruenti [i](proprietà transitiva)[/i].[/*][/list][/quote]
Congruenza di punti, semirette, rette, piani e semipiani
Possiamo pensare intuitivamente che i punti si possano sempre sovrapporre tra loro. Anche le rette dopo qualche rotazione si possono sempre sovrapporre tra loro, pure le semirette, i piani e i semipiani. Allora possiamo prendere come assioma questo:[br][quote]Tutti i punti sono congruenti fra loro. La stessa cosa vale per le rette, le semirette, i piani e i semipiani.[/quote][br]Nota bene: tutti i semipiani sono congruenti tra loro; significa che gli [i]angoli piatti siano tutti congruenti tra loro[/i].
Trasporto dei segmenti e degli angoli
Altri due assiomi descrivo la possibilità di individuare in modo univoco segmenti e angoli congruenti:[br][list=1][*]Dato un segmento [math]AB[/math] e una semiretta [math]r[/math] di origine [math]O[/math], esiste un unico punto [math]P[/math], sulla semiretta, tale che [math]AB[/math] è congruente a [math]OP[/math][/*][*]Dato un angolo [math]\angle aOb[/math] e una semiretta [math]a'[/math] di origine [math]O'[/math], su ognuno dei due semipiani individuati dalla retta cui appartiene la semiretta [math]a'[/math] esiste una unica semiretta [math]b'[/math], di origine [math]O'[/math], tale chea [math]\angle a'O'b'[/math] è congruente ad [math]\angle aOb[/math] [/*][/list]
Poligono regolare
[quote]Un poligono che ha tutti i [i]lati congruenti[/i] e tutti gli [i]angoli congruenti[/i] si dice [b]regolare[/b].[/quote][br]Ad esempio ogni quadrato è un quadrilatero regolare, oppure ogni triangolo equilatero è un triangolo regolare
– davide_ceoldo

2.2.

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3.

Triangoli

  • 1. Classification of Triangles
  • 2. Bisettrici, mediane e altezze
  • 3. Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli
  • 4. Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli
  • 5. Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
  • 6. Angoli alla base di un triangolo isoscele
  • 7. Disuguaglianze tra i lati di un triangolo

3.1.

Classification of Triangles

A triangle with three sides of equal length could be:
Two angles in a triangle measure 100° and 40°. Is the triangle isosceles?
If one of my angles measures 50°, what type of triangle could I be?
Will the three pencils with lengths of 3, 4, and 6 create an acute, right, or obtuse triangle?[br][img]https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/brioche/uploads/05Bx675cMC-group-72.svg?width=240[/img]
Is this triangle isosceles?[br][img]https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/brioche/solvable/2a9b37250c.2e51935d77.FIaJbg.png?width=250[/img][br]
What type of triangle has both an 89° angle and a 1° angle?
Two sides of an isosceles triangle measure 3 and 5. What could be the length of the third side?
[img]https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/brioche/uploads/OvpnwjRacP-group-63.svg?width=250[/img][br]Above, a line cuts across two adjacent rectangles.[br]How many right triangles can you find in this diagram?
[img]https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/brioche/solvable/4ec7e5a849.4ba2562095.mB6MKD.png?width=250[/img][br]If [math]\angle A = 45 ^\circ[/math], [math]\angle B = 35 ^\circ[/math] and [math]\angle C = 100 ^\circ[/math] in the above triangle, what type of triangle is [math]\triangle ABC[/math]?
[img]https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/brioche/solvable/4ec7e5a849.109696b53e.yUmo5W.png?width=250[/img][br]The length of [math]\overline{AB}[/math] is the same as that of [math]\overline{AC} [/math][br] in the above triangle. If [math]\angle B =74^\circ[/math], what is [math]\angle C[/math]?
[img]https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/brioche/solvable/4ec7e5a849.a61883a66e.rbW8d5.png?width=250[/img][br]Suppose that [math]\angle A = 80 ^\circ[/math], [math]\angle B = 55^\circ[/math] and \angle C = 45^\circ[/math]. If points [math]D[/math], [math]E[/math] and [math]F[/math] are the midpoints of [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{CA}[/math] and [math]\overline{AB}[/math], respectively, what type of triangle is [math]\triangle DEF[/math]?[br][br][b]Note:[/b] The above diagram is not drawn to scale.
What do we call a triangle which has exactly 2 equal angles?
– davide_ceoldo

3.2.

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3.5.

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3.7.

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