Omjeri i razmjeri
Omjeri i razmjeri
Table of Contents
- Omjeri i razmjeri
- Omjeri
- Produženi omjer
- Razmjeri
- Produženi razmjer
- Vježba: Produženi razmjer
- KVIZ - Omjeri i razmjeri
- Razmjernost
- Razmjerne veličine
- Obrnuto razmjerne veličine
- KVIZ - Razmjernost veličina
- Pravilo trojno
- Pravilo trojno
- Vježba: Pravilo trojno
- Primjer1. Složeno pravilo trojno
- Primjer 2. Složeno pravilo trojno
- Primjer 3. Složeno pravilo trojno
- Račun diobe
- Račun diobe
- Složeni račun diobe
- Račun smjese
- Račun smjese
- Vježba: Račun smjese
- Primjer 1: Složeni račun smjese
- Primjer 2: Složeni račun smjese
- Verižni račun
- Primjer 1: Verižni račun
- Primjer 2: Verižni račun
- Primjer 3: Verižni račun
- Postotni račun
- Postotni račun
- Vježba: Postotni račun
- Vježba: Sniženja i poskupljenja
- Primjer 1. Poskupljenja i sniženja
- Primjer 2. Poskupljenja i sniženja
- Igra: Labirint postotaka
- IGRA: Potraga za blagom
Omjeri
Svakodnevno se javlja potreba za uspoređivanjem veličina kako bi se spoznali odnosi među njima.[br][b][color=#0000ff]Omjer [/color][/b]je kvocijent dviju istovrsnih veličina različitih od nule:[br] [math]X:Y=\frac{X}{Y}[/math][br]Broj X je [i][color=#0000ff]prvi član omjera[/color][/i], broj Y [i][color=#0000ff]drugi član omjera[/color][/i] .
Primjer 1.
Jednake omjere možemo prikazati u koordinatnom sustavu kao točke (x, y).[br][color=#ff0000]Uoči položaj tih točaka.[/color] [i][color=#0000ff]Mijenjaj klizače[/color][/i] Xbrojnik, Ynazivnik, proširi.
Razmjerne veličine
[color=#0000ff][b]Primjer[/b][/color][br]Ako jednu čokoladu platimo 2 kn, dvije čokolade 4 kn, tri čokolade 6 kn, itd., [br]kako cijena čokolade ovisi o količini kupljene čokolade?[br][br]Označimo sa x količinu čokolade, a sa y cijenu (kn).[br]Prikažimo podatke u tablici i grafički u koordinatnom sustavu.
Ako želimo kupiti [b][color=#0000ff]više[/color][/b] ( [color=#9900ff][b]manje[/b][/color] ) čokolade potrebno nam je [color=#0000ff][b]više[/b][/color] ( [color=#9900ff][b]manje[/b][/color] ) novca.[br][br][i]Svako [color=#0000ff][b]povećanje[/b] [/color] ( [b][color=#9900ff]smanjenje[/color][/b] ) jedne veličine dovodi jednako toliko puta do [br][color=#0000ff][b]povećanja[/b] [/color]([color=#9900ff][b] smanjenja[/b][/color] ) druge veličine.[br][/i][br][b]Kažemo da su veličine x i y [/b] [b][color=#0000ff]razmjerne[/color][/b] [b]s koeficijentom razmjernosti [i]k[/i][/b][br] [math]\frac{y}{x}=k[/math] ili [math]y=k\cdot x[/math]
Pravilo trojno
Pravilo trojno primjenjujemo pri rješavanju zadataka u kojima su veličine[br] razmjerne ili obrnuto razmjerne.
Primjer 1.
Za marmeladu od marelica utrošeno je 10 kg marelica i 4.5 kg šećera.[br]Koliko je potrebno šećera da se od 16 kg marelica napravi marmelada iste kvalitete?[br][br][i]Ako imamo [b][color=#ff00ff]VIŠE[/color][/b] kg marelica, potrebno je [color=#ff00ff][b]VIŠE[/b][/color] kg šećera.[br][/i]Veličine su razmjerne ([i]strelice su u istom smjeru[/i])
Primjer 2.
Na jednoj proslavi 6 konobara posluživalo je goste aperitivom 20 min.[br]Za koliko bi vremena 8 konobara poslužilo te iste goste, ako pretpostavimo da im je radni učinak isti?[br][br][i]Ako posao obavlja [b][color=#ff00ff]VIŠE[/color][/b] konobara , potrebno je [b][color=#ff00ff]MANJE[/color][/b] vremena da se taj posao obavi.[/i][br]Veličine su obrnuto razmjerne ( [i]strelice su u suprotnom smjeru[/i]).
Račun diobe
[b][color=#1155cc]Ako neku veličinu treba podijeliti na više dijelova [br] u nekom određenom omjeru, koristimo račun diobe.[br]Npr. [br][math]x_1+x_2=iznos[/math][br][math]x_1:x_2=a:b[/math][/color][/b] [br][br]odnosno: [math]x_1=k\cdot a[/math] [math]x_2=k\cdot b[/math][br]Uvrstimo u prvu jednadžbu i izračunamo [math]k[/math] (na sve decimale koje možemo dobiti na džepnom računalu), [br]a zatim računamo [math]x_1[/math] i [math]x_2[/math] .
Vježba:
Račun smjese
Jednostavni račun smjese
[br][color=#000000]Imamo dvije vrste robe: prve [/color][b][color=#0000ff]x[/color] [/b][i]kg [/i]po cijeni [b][i][color=#ff00ff]a [/color][/i][/b][color=#000000][i]kn [/i][/color][color=#000000]i druge [/color][b][color=#0000ff]y[/color] [/b][i]kg [/i]po cijeni [b][i][color=#ff00ff]b[/color] [/i][/b][color=#000000]kn [/color][color=#000000]i neka je [/color][i][color=#ff00ff]a > b[/color].[/i][color=#000000] [br]Trebamo dobiti smjesu čija će cijena biti [/color][b][color=#ff0000]s [/color] [/b][i]kn [/i][color=#000000]za [/color][color=#000000][b]1 [/b][i]kg[/i][/color][color=#000000].[/color][br][color=#000000]Pitamo se : u kojem omjeru treba pomiješati navedenu robu?[/color][br][br][color=#000000]Pomiješamo li robu, dobit ćemo [/color][i][b][color=#0000ff]( x + y ) [/color][/b]kg [/i][color=#000000]smjese po cijeni [/color][i][b][color=#ff0000]s [/color] [/b]kn.[br][/i]Dakle: [math]ax+by=s\cdot\left(x+y\right)[/math][br]slijedi: [math]ax+by=sx+sy[/math][br] [math]ax-sx=sy-by[/math][br] [math]x\left(a-s\right)=y\left(s-b\right)[/math][br]što možemo pisati u obliku razmjera: [b][color=#9900ff]x : y = ( s -[i] b[/i] ) : ([i]a[/i] - s )[/color][/b][br]Do tog omjera možemo doći pomoću sheme:
Primjer 1: Verižni račun
Ako su sve veličine razmjerne, zadatak možemo riješiti primjenom verižnog računa.[br]Shema kojom dolazimo do rješenja naziva se [b][color=#0000ff]verižnik.[/color][/b][br][color=#0000ff][b]Postupak[/b][/color][br][color=#0000ff]1. Verižnik se počinje nepoznatom veličinom x. Uz nju mora stajati oznaka mjerne jedinice.[br]2. Sastoji se od niza odnosa. Svaki sljedeći red počinje mjernom jedinicom veličine kojom je završio prethodni red.[br]3. Verižnik završava mjernom jedinicom veličine kojom je počeo[br]4. Nepoznatu veličinu x računamo tako da umnožak brojeva s desne strane podijelimo umnoškom brojeva s lijeve strane. [/color]
[b][color=#0000ff]Primjer 1.[/color][/b][br]Ako 1 kg kave košta kao 3 kg grožđa, 1 kg grožđa kao 3 kg banana, 4 kg banana kao 1 kg ananasa, a 1 kg ananasa košta 24 kn, koliko košta 1 kg kave?
1 kg kave košta 54 kn.
Postotni račun
U svakodnevnom životu susrećemo se s postocima: kod sniženja i povećanja cijena, poreza, izračuna plaće, kamata i kredita, statističkih obračuna, itd.[br]Kod postotnog računa javljaju se sljedeće veličine:[br][br][b][color=#0000ff]S[/color][/b] [color=#0000ff]osnovna vrijednost[/color] - broj od kojeg se obračunava postotak,[br][b][color=#0000ff]p[/color][/b] [color=#0000ff]postotak[/color] - broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine ( [math]p\%=\frac{p}{100}[/math] ), [br][b][color=#0000ff]P[/color][/b] [color=#0000ff]postotni iznos [/color]- broj koji se dobije kada se od osnovne veličine odredi dio naznačen danim postotkom.[br]Osnovnu formulu koja povezuje ove veličine možemo pisati u obliku razmjera:[br] [b][color=#0000ff]S : 100 = P : p[/color][/b]
Primjer 1.
Ako je za hladni bife potrebno 10 kg ispečenog mesa, koliko treba uzeti svježeg, [br]ako je termički kalo 20%?[br][br][i]Znači, tijekom pečenja količina mesa se smanji za 20%, odnosno nakon pečenja imamo 80% početne količine.[br][/i]p=80 S : 100 = P : p[br][u]P=10 [/u] S : 100 = 10 : 80[br]S= ? [math]80\cdot S=100\cdot10[/math] /:80[br]S = 12.5[br]Treba uzeti 12.5 kg svježeg mesa.[i][br][br]Možemo riješiti zadatak na drugi način (pomoću pravila trojnog): [br][/i]
x : 10 = 100 : 80[br] [math]x=\frac{10\cdot100}{80}[/math][br] x = 12.5[br]Potrebno je uzeti 10.5 kg svježeg mesa.
[b][color=#ff00ff]Postotni račun iznad i ispod 100[br][br][/color][/b]Ako je poznata [color=#0000ff]uvećana[/color] osnovna vrijednost, oznaka [b][color=#0000ff](S + P)[/color], [/b]ili[color=#ff00ff] umanjena[/color] osnovna vrijednost, oznaka [color=#ff00ff][b](S - P)[/b][/color], koristimo formule:[br] [b][color=#0000ff]S : 100 = (S + P) : (100 + p)[/color][/b][br] [b][color=#ff00ff]S : 100 = (S - P) : (100 - p)[/color][/b]
Primjer 2.
Nakon odbitka 5% kasa-skonta (popusta) račun iznosi 2470 kn. Koliki je bio račun bez popusta?[br][br] [i] Rješenje pomoću pravila trojnog:[/i]
x : 2470 = 100 : 95[br][math]x=\frac{2470\cdot100}{95}[/math][br]x = 2600[br]Račun je iznosio 2600 kn.[br][br]Primjenom formula: S : 100 = (S - P) : (100 - p)[br]S - P=2470 S : 100 = 2470 : 95[br][u]p=5 [/u] [math]S=\frac{100\cdot2470}{95}[/math][br]S= ? S= 2600[br]Račun je iznosio 2600 kn.[br]