[size=100]Im letzten Kapitel der Exponentialfunktionen lernen wir, wie man auch komplexere Exponentialfunktion ohne den CAS-Rechner lösen kann. Der Logarithmus ist hier ein hervorragendes Werkzeug, aber auch er Hilft nicht immer. Wir lernen [b][color=#38761d]drei Verfahren[/color][/b] kennen.[br][/size][br]Lies dir dazu zunächst die folgenden drei Beispiele durch. Im Hefteintrag findest noch mehr Beispiele, die im zugehörigen Erklärvideo auch noch einmal mündlich erklärt werden. Dieses Durcharbeiten wird einige Zeit in Anspruch nehmen. Löse im Anschluss die Aufgaben.

[b][color=#38761d][size=150]1. Exponentenvergleich[br][/size][/color][/b][br][size=100]Wenn links und rechts vom Gleichheitszeichen jeweils [b][color=#38761d]nur eine[/color][/b][color=#38761d] [/color]Potenz steht und auf beiden Seiten die [b][color=#38761d]Basis[/color][/b] der Potenz gleich ist, dann genügt es, wenn man nur noch die Exponenten der beiden Potenzen miteinander vergleicht. Hier arbeitest du so, wie wir jetzt auch schon Gleichungen im Logarithmus gelöst haben. Diese Methode mag dir manchmal als "zu einfach" erscheinen, aber glaub' mir, das geht.[br][/size][br]Auch Potenzregeln können dir helfen um zwei Basen gleich zu machen.

[b][color=#38761d]Warum eigentlich?[/color][/b][br][br]Das können wir tun, da wir mit Hilfe der Potenzregeln eigentlich alles auf eine Seite bringen und dann logarithmieren könnten. Deswegen funktioniert diese Methode auch [color=#38761d]NUR[/color] bei gleichen Basen.[br][br][math]a^{2x+1}=a^{x-7}[/math] |[math]:a^{x-7}[/math][br][math]\frac{a^{2x+1}}{a^{x-7}}=1[/math]  Potenzgesetze[br][br][math]a^{2x+1-\left(x-7\right)}=1[/math][br][math]a^{x+8}=1[/math]  |[math]log_a[/math][br][math]log_a1=x+8[/math] [br]Im Schritt vorher und spätestens hier weiß man schon, dass [math]x+8=0[/math] sein muss, damit das Ergebnis 1 ist. Also ich [math]x=-8[/math]. Diese Umformung kannst du dir durch den Exponentenvergleich allerdings sparen.

[b][color=#38761d][size=150]2. Logarithmus[br][/size][/color][/b][br][size=100]Sind die [b][color=#38761d]Basen[/color][/b] der Potenzen in denen die Variable als Exponent auftaucht [color=#38761d][b]unterschiedlich[/b][/color], muss man sich dem Logarithmus als Werkzeug bedienen.[br][br]Man versucht die Gleichung mithilfe der [color=#38761d][b]Potenzgesetze[/b][/color] so umzuformen, dass man dann den Logarithmus anwenden kann, um die Gleichung exponentenfrei zu schreiben. Zu welcher Basis man den Logarithmus wählt ist im Grunde egal, es empfiehlt sich aber eine Basis zu wählen, mit der man im Taschenrechner leicht rechnen kann (also meistens lg)[br][/size]

Die Schwierigkeit liegt hier oft darin, die Gleichung so umzuformen, dass man sinnvoll logarithmieren kann. Dazu ist die Kenntnis von [color=#38761d][b]Potenz- und Logarithmusgesetzen[/b][/color] essentiell. Der Logarithmus kann nicht angewendet werden, wenn auf einer der beiden Seiten noch eine Summe oder Differenz steht.[br][math]3+2^x=3^x\Leftrightarrow lg\left(3+2^x\right)=x\cdot lg3[/math] Die linke Seite kann man nicht weiter vereinfachen.[br][br]Hier noch ein etwas komplexeres Beispiel.

[b][color=#38761d][size=150]3. Substitution[br][/size][/color][/b][br][size=100]Kommt in der Exponentialgleichung [b][color=#38761d]nur eine Basis[/color][/b] vor, die aber [color=#38761d][b]unterschiedliche Potenzen [/b][/color]hat, kann man eine Substitution (=Ersetzung) durchführen. Man ersetzt dabei die Basis mit der Variablen durch eine[color=#38761d][b] neue Variable[/b][/color]. So erhält man eine Gleichung, die keine Variable im Exponenten mehr hat, also zu einer Potenzgleichung wird. Hat man diese vereinfachte Gleichung gelöst, muss man wieder zurücksubstituieren, um die richtige Lösung zu erhalten[/size].

Schreibe jetzt den [b][color=#38761d]Hefteintrag[/color][/b] ab und sieh dir das [color=#38761d][b]Erklärvideo[/b][/color] dazu an.

Für folgende Aufgabe gebe ich dir Tipps, welche Methode sich am besten eignet. Welche du wählst, ist dir selbst überlassen. Löse mindestens b), c) und f).[br][br][size=85]a) Logarithmus; b) Logarithmus; c) Substitution ([math]16=4^2[/math]); d) Logarithmus; e) Substitution; f) Exponentenvergleich[/size][br][color=#38761d][br]Buch S. 85[/color]

Sieh dir für die folgende Aufgabe die Beispiellösung zu 14 b) an und bearbeite dann a) und c). [br][color=#38761d]Buch S. 85[/color]

b)[br][math]3^{2x+1}-5^{x+1}=3^{2x}+5^x[/math] Potenzregeln[br][math]3^{2x}\cdot3^1-5^x\cdot5^1=3^{2x}+5^x[/math] |[math]+5^x\cdot5;-3^{2x}[/math][br][math]3^{2x}\cdot3-3^{2x}=5^x+5^x\cdot5[/math] [br][br]Fasse zusammen. Du muss hier nicht ausklammern. Ich tue es nur um den Rechenschritt zu verdeutlichen.[br][br][math]3^{2x}\cdot\left(3-1\right)=5^x\cdot\left(1+5\right)[/math][br][math]3^{2x}\cdot2=5^x\cdot6[/math]   | lg[br][math]lg\left(3^{2x}\cdot2\right)=lg\left(5^x\cdot6\right)[/math] Logarithmusgesetze[br][math]2x\cdot lg3+lg2=x\cdot lg5+lg6[/math] auflösen[br][math]2x\cdot lg3-x\cdot lg5=lg6-lg2[/math] ausklammern[br][math]x\cdot\left(2\cdot lg3-lg5\right)=lg6-lg2[/math][br][math]x=\frac{lg6-lg2}{2\cdot lg3-lg5}\approx1,87[/math]  In den Taschenrechner eintippen.[br][br][br][br][br][br][br]Hier findest du die ausführlichen Lösungen.

[b][color=#38761d]Freiwillige Übung:[/color][/b]