MA36
Livro de construções geométricas da disciplina MA36 (Recursos Computacionais no Ensino de Matemática) do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT). Todas as construções possuem um problema, uma solução passo a passo, um applet do geogebra e sua justificativa matemática.
Tabla de Contenidos
- Geometria Plana - 1ª Aula
- 1 - Mediatriz
- 2 - Reta perpendicular por um ponto (I)
- 3 - Reta perpendicular por um ponto (II)
- 4 - Reta Perpendicular por um ponto (III)
- 5 - Reta Paralela por um ponto
- 6 - Divisão de um segmento com partes iguais
- 7 - Transporte de ângulos
- 8 - Bissetriz com vértice conhecido
- 9 - Bissetriz com vértice desconhecido
- Geometria Plana - 2ª Aula
- 1 - Arco Capaz
- 2 - Triângulo a partir de 3 segmentos
- 3 - Triângulo a partir de dois lados e um ângulo
- 4 - Reta tangente a um ponto dado sobre um círculo.
- 5 - Reta tangente a um ponto sobre um círculo de centro desconhecido
- 6 - Retas tangentes a um círculo, passando por um ponto fora do círculo.
1 - Mediatriz
Problema
Traçar a mediatriz de um segmento de reta.
Solução
1. Dado um segmento[math]\overline{AB}[/math], use o compasso e trace dois círculos centrados nos ponto [math]A[/math] e [math]B[/math], e raio maior que a metade de [math]\overline{AB}[/math].[br][list][*]no applet abaixo, utilizamos o raio [math]\frac{\left(\overline{AB}+1\right)}{2}[/math].[/*][/list][br]2. Marque [math]C[/math] e [math]D[/math] os pontos de interseção dos círculos.[br][br]3. Trace a reta [math]s[/math] ligando os pontos [math]C[/math] e [math]D[/math].[br][br]4. O ponto de interseção de [math]\overline{AB}[/math] com [math]s[/math] é o ponto [math]E[/math], ponto médio de [math]\overline{AB[/math]}.[br][br]5. A reta [math]s[/math] é a mediatriz de [math]\overline{AB}[/math].
Justificativa Matemática
[left]Por se tratar de circunferências de mesmo raio, temos que os seguimentos de reta a seguir são congruentes:[/left][center][math]\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=\overline{BD}[/math][/center]Logo, temos que os triângulos [math]\Delta ABC[/math] e [math]\Delta ABD[/math] são isósceles, fazendo com que seus ângulos da base [math]\overline{AB}[/math] sejam congruentes, ou seja:[code][/code][br][center][br][math]\Delta ABC[/math] isósceles [math]\rightarrow[/math] [math]B\widehat{A}C = A\widehat{B}C[/math][br]e[br][math]\Delta ABD[/math] isósceles [math]\rightarrow[/math] [math]B\widehat{A}D = A\widehat{B}D[/math][/center][br]Além disso, os triângulos [math]\Delta ABC[/math] e [math]\Delta ABD[/math] são congruentes pelo critério LLL, de modo que os ângulos abaixo são todos congruentes. [br][br][center][math]B\widehat{A}C[/math][math]=[/math][math]A\widehat{B}C[/math][math]=[/math][math]B\widehat{A}D[/math][math]=[/math][math]A\widehat{B}D[/math][br][/center][br]Logo, pelo critério LAL, os triângulos [math]\Delta ACE[/math], [math]\Delta BCE[/math], [math]\Delta ADE[/math] e [math]\Delta BD[/math]E são congruentes.[br][br]Por consequência temos que [math]\overline{AE}=\overline{EB}[/math] e que [math]A\widehat{E}C[/math][math]=[/math][math]B\widehat{E}C[/math][math]=[/math][math]A\widehat{E}D[/math][math]=[/math][math]B\widehat{E}D[/math][math]=[/math][math]90º[/math], fazendo com que a reta [math]s[/math] ([math]\overline{CD}[/math]), seja mediatriz do segmento [math]\overline{AB}[/math], como queríamos provar.
1 - Arco Capaz
Problema
Se um segmento de reta e um ângulo são dados, construa o arco capaz.
Solução
Definição: Arco Capaz é o lugar geométrico dos ponto que visualizam um segmento [math]\overline{AB}[/math] num dado ângulo [math]\alpha[/math].[br][br][br]1. Seja o segmento [math]\overline{AB}[/math] e o ângulo [math]C\widehat{D}E=\alpha[/math].[br][br]2. Use o compasso para transportar o ângulo [math]\alpha[/math] para baixo do segmento [math]\overline{AB}[/math], definindo o ponto [math]G[/math] de modo que [math]C\widehat{D}E=B\widehat{A}G=\alpha[/math].[br][br]3. Trace a mediatriz de [math]\overline{AB}[/math] e chame de reta [math]t[/math].[br][br]4. Levante a perpendicular [math]m[/math] ao segmento [math]\overline{AG}[/math].[br][br]5. Marque [math]O[/math] o ponto de interseção de [math]m[/math] e [math]t[/math].[br][br]6. Com o compasso centrado em [math]O[/math], trace o arco capaz, centrado em [math]O[/math], do ponto [math]A[/math] até [math]B[/math].[br][list][*]No appet abaixo, utilizamos a ferramenta Arco Circular[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlearc3.png[/icon][/*][/list][br]7. Sobre o arco capaz, defina um ponto qualquer [math]H[/math] e verifique que [math]A\widehat{H}B=\alpha[/math].
Justificativa Matemática
Ao transferir o ângulo [math]\alpha[/math] para o segmento [math]\overline{AB}[/math] e construir a reta [math]m[/math] perpendicular a [math]\overline{AB}[/math] passando por [math]A[/math], temos as seguintes medidas de ângulos:[br][br][center][math]G\widehat{A}F=\alpha[/math][br][math]B\widehat{A}O=90º-\alpha[/math][/center][br]Ao analisar o triângulo [math]\Delta ABO[/math] temos que, por serem raios de um mesmo círculo, [math]\overline{AO}=\overline{BO}[/math], fazendo [math]\Delta ABO[/math] isósceles e, assim:[br][br][center][math]B\widehat{A}O=A\widehat{B}O=90º-\alpha[/math][/center][br]Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo resulta em [math]180º[/math], temos que:[br][br][center][math]A\widehat{B}O+A\widehat{O}B+B\widehat{A}O=180º[/math][br][math](90º-\alpha)+A\widehat{O}B+(90º-\alpha)=180º[/math][br][math]90º-\alpha+A\widehat{O}B+90º-\alpha=180º[/math][br][math]180º-2\alpha+A\widehat{O}B=180º[/math][br][math]-2\alpha+A\widehat{O}B=0[/math][br][math]A\widehat{O}B=2\alpha[/math][br][math]\beta=2\alpha[/math][/center][br]Como já sabemos, um ângulo inscrito é metade de um ângulo central que subtende o mesmo arco, por esse motivo sabemos que, independente da posição do ponto [math]H[/math] no arco capaz, temos:[br][br][center][br][math]\frac{A\widehat{O}B}{2}=A\widehat{H}B[/math][br][br][math]\frac{\beta}{2}=A\widehat{H}B[/math][br][br][math]\frac{2\alpha}{2}=A\widehat{H}B[/math][br][br][math]\alpha=A\widehat{H}B[/math][br][/center][br]