Точки Е, F, P и M - середины A1D1, D1C, CD и A1D соответственно. Докажите, что ЕР и МF пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1) Рассмотрим треугольник D1DC. Если представить, что сторона D1D является основанием, то отрезок FP будет средней линией этого треугольника, а по свойству средней линии отрезок FP равен половине отрезка D1D, а также отрезок FP перпендикулярен отрезку D1D. [br][math]FP\parallel D1D[/math] [br]2) Рассмотрим треугольник A1D1D. Если представить, что сторона D1D является основанием, то отрезок ME будет средней линией этого треугольника, а по свойству средней линии отрезок ME равен половине отрезка D1D, а также отрезок ME перпендикулярен отрезку D1D. [br][math]ME\parallel D1D[/math] [math]ME=\frac{1}{2}D1D[/math][br]3) Получается, что [math]FP\parallel ME[/math]. [br]4) Если соединить отрезки FP и ME , то мы получим параллелограмм FPME , в котором диагоналями будут отрезки PE и MF.[br]5) По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и делятся в точке пересечения пополам.