Von der Potenzfunktion zur ganzrationalen Funktion
In der allgemeinen Form sieht eine Potenzfunktion wie folgt aus: [math]f\left(x\right)=ax^n[/math] mit [math]a\in\mathbb{R}[/math] und[math]n\in\mathbb{N}[/math]. Den Einfluss des Parameters a kannst du mit dem folgendem Applet untersuchen. [br][br]Verschiebe den Schieberegler und beantworte mit Hilfe deiner Beobachtungen die Fragen.
Der Parameter a ...
Für gerade n:
Umso größer der Parameter a, ...
Diese Beobachtung gilt auch für ungerade n, allerdings passt hier der Begriff "Öffnung" nicht so recht.
Hat das a ein negatives Vorzeichen, so ...
Das folgende Diagramm stellt zum einen den Graphen von [math]f\left(x\right)=x^4[/math] (gestrichelt) dar. Der andere Graph gehört zum Funktionsterm [math]f\left(x\right)=ax^4[/math]. Gib das Intervall an, in dem a liegen muss.
Überlagerung mehrerer Potenzfunktionen
Natürlich können wir nun auch mehrere Potenzfunktionen nehmen und diese addieren. [br]z.B. [math]f_1\left(x\right)=-0,2x^4[/math] und [math]f_2\left(x\right)=x^2[/math][br][math]g\left(x\right)=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)[/math][br]Erkläre, wie der Graph von g aus den beiden anderen Graphen hervorgeht.
Diese Prinzip lässt sich beliebig erweitern. Man spricht dann von einer ganzrationalen Funktion[br][math]f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^{^n}[/math] vom Grad n (höchster Exponent).[br][br]Als Beispiel kannst du hier mal mit einer ganzrationalen Funktion vom Grad 4 herumspielen und die Koeffizienten ([math]a_0,a_1,a_2,...[/math]) einstellen.
Fülle nun das Arbeitsblatt aus.