Las [color=#0000ff]funciones constantes[/color] son aquellas cuya gráfica es una línea [br]paralela al eje de abscisas. Su forma es[b][color=#00ff00] y=k [/color][/b]donde k pertenece a los números reales.
Funciones
En este libro veremos todo lo relacionado con las funciones y sus gráficas.
Table of Contents
- Funciones elementales
- Funciones cuya gráfica es una recta
- Funciones cuadráticas
- Funciones exponenciales
- Función racional: hipérbola
- Funcion logarítmica
- Funciones irracionales
- Funciones trigonométricas
- Función de seno
- Función de coseno
- Función de tangente
- Composición de funciones
- Funcion compuesta: Explicación
- Ejercicios de ejemplo
- Funciones inversas
- Funciones inversas
- Explicación
- Ejercicios de ejemplo
- Operaciones con funciones
- La función producto de un número real x por la función
- Suma de funciones
- Resta de funciones
- Producto de funciones
- Cociente de funciones
Funciones cuya gráfica es una recta
Funciones constantes
Funciones lineales
Las[color=#0000ff] funciones lineales [/color] son aquellas cuya gráfica es una línea [br]que pasa por el origen de coordenadas. Su forma es[b][color=#00ff00] y=mx [/color][/b]donde m pertenece a los números reales menos 0 .
Funciones afines
Propiedades de las funciones lienales:
[br]
Función de seno
Función del seno: gráfica
Función de coseno: Explicación
Propiedades de la función del seno:
[b]1)[/b] Su dominio es R y es continua.[b]2)[/b] Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .[b]3)[/b] Corta al eje X en los puntos [b]k·π[/b] con k∈Z . Corta al eje Y en el punto (0, 0) [b]4)[/b] Es impar, es decir, simétrica respecto al origen. sen (- x) = - sen (x)[b]5) [/b]Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z . Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .[b]6)[/b] Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .[b]7)[/b] Es periódica de periodo [b] 2π[/b] .sen (x) = sen (x + 2π) La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/kPara |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.[b]8)[/b] Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
Funcion compuesta: Explicación
Explicación
Composición de funciones
Usando la notación matemática, la [b]función[/b] compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente a X. A g ∘ f se le llama [b]composición[/b] de f y g.
Propiedades de la composición de funciones:
[b]ASOCIATIVA:[/b] Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) = (hog)of.[b]CONMUTATIVA:[/b] La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas.En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo, (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones gof y fog son distintas.[b]FUNCIÓN IDENTIDAD:[/b] La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición de funciones.
Funciones inversas
Función inversa
Se llama [b]función inversa[/b] o reciproca de f a otra [b]función[/b] f[sup]−[/sup][sup]1[/sup] que cumple que: Si f(a) = b, entonces f[sup]−[/sup][sup]1[/sup](b) = a. ... Si queremos hallar el recorrido de una [b]función[/b] tenemos que hallar el dominio de su [b]función inversa[/b]. Si dos [b]funciones[/b] son [b]inversas[/b] su composición es la [b]función[/b] identidad.
Propiedades de las funciones inversas:
1. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición: [url=http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/12/p31.png][img width=176,height=23]http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/12/p31.png[/img][/url][br]2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.[url=http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/12/p2.png][img width=129,height=40]http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/12/p2.png[/img][/url][br]3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.[br] 4. La función inversa no siempre existe.[br] 5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial.[br] 6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.[br][br][br]
La función producto de un número real x por la función
Producto de un número por una función
Dado un número real [i]a[/i] y una función [i]f[/i], el producto del número por la función es la función definida por [b][i][sub] [img width=105,height=19]http://www.sectormatematica.cl/imeh/funope33.gif[/img][/sub][/i][/b] [b][/b]