Esplora la costruzione passo a passo della sezione aurea di un segmento, poi mettiti alla prova con l'attività interattiva visualizzata sotto l'app, ed infine scopri come si calcola il valore del "numero d'oro" [math]\varphi[/math], che è una delle costanti matematiche fondamentali.[br][br][br]Click [url=https://www.geogebra.org/m/Zh4XgNfE#material/hpxpkePq]here[/url] for the English version.
Al termine della costruzione, utilizza lo strumento [i]Distanza [/i]e misura la lunghezza dei segmenti [i]AB,[/i] [i]AP e PB[/i].[br]Muovi i punti [i]A[/i] e [i]B[/i] e rileva le misure che ottieni.[br]Crea una tabella contenente alcune misure di [i]AB[/i], le corrispondenti misure di [i]AP[/i] e [i]PB[/i], e i rapporti di tali misure.[br]Cosa osservi?
Traduciamo in termini algebrici la proporzione [math]AB:AC=AC:CB[/math] che definisce la sezione aurea.[br]Siano [math]a[/math] la lunghezza del segmento [math]AB[/math], e [math]x[/math] la lunghezza della sezione aurea [math]AC[/math].[br]Allora [math]CB=AB-AC=a-x[/math].[br][br]Riscriviamo la proporzione in termini algebrici, e otteniamo [math]a:x=x:\left(a-x\right)[/math].[br][br]Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi [math]x^2=a\left(a-x\right)[/math].[br]Questa è un'equazione di secondo grado: svolgiamo i calcoli, riordiniamo in forma normale [math]x^2+ax-a^2=0[/math] e risolviamo, ottenendo [math]x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{-a\pm a\sqrt{5}}{2}[/math].[br][br]Poiché la soluzione si riferisce alla lunghezza di un segmento, deve essere positiva. Scartiamo la soluzione negativa e raccogliamo [math]a[/math] a fattor comune, quindi [math]x=\frac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}[/math].[br]Abbiamo quindi calcolato la sezione aurea [math]x=AC[/math] di un segmento [math]AB[/math] lungo [math]a[/math] unità.[br][br]Calcoliamo ora il rapporto aureo [math]\frac{AB}{AC}=\frac{a}{\frac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}}[/math].[list][*]Riduciamo la frazione, moltiplicando il numeratore per l'inverso del denominatore e semplificando il risultato [math]=a\cdot\frac{2}{a\left(\sqrt{5}-1\right)}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}[/math][/*][*]Razionalizziamo e semplifichiamo: [math]=\frac{2}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}=\frac{2\left(\sqrt{5}+1\right)}{5-1}=\frac{2\left(\sqrt{5}+1\right)}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/math].[/*][/list][br]Quindi il numero aureo è [math]\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/math].[br]