PROJEÇÕES, REVOLUÇÕES E TRUNCAMENTOS

Aluísio Júnior, 9/2/2025

Este livro interativo tem como objetivo aprofundar a compreensão de alguns tópicos Geometria Espacial por meio de atividades dinâmicas e interativas no GeoGebra. Especificamente, são tratados os seguintes temas: projeção ortogonal, truncamento de sólidos e sólidos de revolução, com enfoque em uma abordagem visual e exploratória para facilitar o aprendizado desses conceitos. Capítulo 1 – Projeção Ortogonal: apresenta os fundamentos da projeção de pontos, retas e sólidos nos planos principais, auxiliando na visualização espacial por meio de construções interativas. Capítulo 2 – Truncamento de Sólidos: explora cortes e seções planas de prismas, pirâmides e outros sólidos geométricos, com atividades que relacionam esses conceitos a situações do ENEM e vestibulares. Capítulo 3 – Sólidos de Revolução: aborda a formação de sólidos gerados pela rotação de figuras planas, permitindo que o usuário manipule e compreenda as propriedades dessas superfícies de maneira intuitiva. Com este material, espera-se que estudantes e professores possam visualizar e explorar conceitos geométricos de forma dinâmica, tornando o ensino e a aprendizagem mais eficazes.

Tabla de Contenidos

  1. PROJEÇÕES ORTOGONAIS
    1. 01. Formiga
    2. 02. Trajetória do Inseto
    3. 03. Lagartixa
    4. 04. Museu do Louvre
    5. 05. Gangorra
    6. 06. Atomium
    7. 07. Escada Circular
    8. 08. Torneira
    9. 09. Cadeira
    10. 10. Globo da Morte
    11. 11. Cubo (deslocamento do robô)
    12. 12. Globo Terrestre
    13. 13. PINE
    14. 14. Pirâmide (deslocamento)
    15. 15. Barraca
  2. REVOLUÇÕES DE SUPERFÍCIES E DE SÓLIDOS
    1. 01. Sólido gerado pela rotação de um quadrado
    2. 02. Sólido gerado pela rotação do trapézio
    3. 03. Triângulo retângulo rotacionando
    4. 04. Rotação de figura plana
    5. 05. Rotação de triângulo retângulo
    6. 06. Rotação de losango
    7. 07. Rotação de quadrante de círculo
    8. 08. Triângulo ABC rotacionando 270º
    9. 09. Rotação de retângulo
    10. 10. Semiesfera e pirâmide de base quadrada
    11. 11. Bumbo
    12. 12. Foguete
    13. 13. Anticlepsidra
  3. TRUNCAMENTOS DE SÓLIDOS
    1. 01. Luminária em forma de tetraedro truncado
    2. 02. Troféu em forma de cubo truncado
    3. 03. Brindes promocionais em forma de pirâmide
    4. 04. Intersecção do plano α com o cubo
    5. 05. Peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano
    6. 06. Tetraedro Regular
    7. 07. Hexaedro Regular
    8. 08. Octaedro Regular
    9. 09. Dodecaedro Regular
    10. 10. Icosaedro Regular
    11. 11. N-prisma
    12. 12. N-antiprisma
    13. 13. Cuboctaedro
    14. 14. Icosidodecaedro
    15. 15. Tetraedro Truncado
    16. 16. Cubo Truncado
    17. 17. Octaedro Truncado
    18. 18. Dodecaedro Truncado
    19. 19. Icosaedro Truncado
    20. 20. Cuboctaedro Truncado
    21. 21. Icosidodecaedro Truncado
    22. 22. Rombicuboctaedro
    23. 23. Rombicosidodecaedro
    24. 24. Cubo Snub
    25. 25. Dodecaedro Snub

1.

PROJEÇÕES ORTOGONAIS

A projeção ortogonal configura-se como um dos recursos essenciais da Geometria Descritiva, sendo amplamente empregada na representação rigorosa e precisa de objetos tridimensionais em superfícies bidimensionais. Esse método desempenha um papel fundamental na visualização geométrica, uma vez que possibilita a interpretação e a compreensão das formas espaciais por meio de suas projeções planas. Diante desse contexto, o presente capítulo tem como propósito explorar os conceitos fundamentais dessa técnica, enfatizando sua importância tanto para a construção de representações gráficas quanto para o desenvolvimento do pensamento espacial. Com o intuito de tornar o aprendizado mais interativo e dinâmico, são apresentadas atividades desenvolvidas no ambiente GeoGebra, abrangendo a projeção de pontos e retas nos planos principais, a identificação dos traços das retas e sua relação com a linha de terra, além da análise detalhada das propriedades de retas notáveis, tais como as frontais, horizontais e de perfil. A proposta subjacente a essa abordagem é oferecer uma experiência intuitiva e didaticamente estruturada, permitindo ao usuário estabelecer conexões entre o espaço tridimensional e suas representações planas, favorecendo, assim, a construção de um raciocínio espacial mais apurado e consistente.

  • 1. 01. Formiga
  • 2. 02. Trajetória do Inseto
  • 3. 03. Lagartixa
  • 4. 04. Museu do Louvre
  • 5. 05. Gangorra
  • 6. 06. Atomium
  • 7. 07. Escada Circular
  • 8. 08. Torneira
  • 9. 09. Cadeira
  • 10. 10. Globo da Morte
  • 11. 11. Cubo (deslocamento do robô)
  • 12. 12. Globo Terrestre
  • 13. 13. PINE
  • 14. 14. Pirâmide (deslocamento)
  • 15. 15. Barraca

1.1.

01. Formiga

(Fuvest-SP)
Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice:[br][br][img]https://kuadro-static.storage.googleapis.com/a2b31dcdbdf3444bba50190f171f1f3e[/img][br][br][br]
– Aluísio Júnior

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.13.

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1.14.

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1.15.

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2.

REVOLUÇÕES DE SUPERFÍCIES E DE SÓLIDOS

A revolução de superfícies e de sólidos constitui um dos princípios fundamentais da Geometria Espacial, sendo amplamente utilizada na modelagem de formas tridimensionais a partir da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Esse processo permite a construção de diversos sólidos notáveis, como cilindros, cones e esferas, além de possibilitar a análise de superfícies geradas por curvas mais complexas. Diante desse contexto, este capítulo tem como objetivo explorar os conceitos centrais da revolução de superfícies e de sólidos, destacando sua importância tanto na visualização geométrica quanto na compreensão da estrutura dos objetos no espaço. Para tornar esse estudo mais interativo e intuitivo, são propostas atividades desenvolvidas no GeoGebra, abordando a formação de sólidos de revolução a partir de diferentes geratrizes, a análise das seções resultantes do corte desses sólidos e a interpretação geométrica das superfícies geradas. A abordagem enfatiza a relação entre a forma inicial da figura plana e o sólido tridimensional obtido, proporcionando uma compreensão mais profunda das transformações envolvidas no processo de revolução. Dessa maneira, busca-se não apenas aprimorar a percepção espacial do leitor, mas também fortalecer sua capacidade de abstração e raciocínio geométrico, favorecendo uma aprendizagem significativa e aplicada a diferentes contextos matemáticos e práticos.

  • 1. 01. Sólido gerado pela rotação de um quadrado
  • 2. 02. Sólido gerado pela rotação do trapézio
  • 3. 03. Triângulo retângulo rotacionando
  • 4. 04. Rotação de figura plana
  • 5. 05. Rotação de triângulo retângulo
  • 6. 06. Rotação de losango
  • 7. 07. Rotação de quadrante de círculo
  • 8. 08. Triângulo ABC rotacionando 270º
  • 9. 09. Rotação de retângulo
  • 10. 10. Semiesfera e pirâmide de base quadrada
  • 11. 11. Bumbo
  • 12. 12. Foguete
  • 13. 13. Anticlepsidra

2.1.

01. Sólido gerado pela rotação de um quadrado

Calcule, em cm³, o volume do sólido de revolução gerado pela rotação completa de um quadrado de lado 4 cm em torno de um de seus lados. 
– Aluísio Júnior

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

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2.13.

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3.

TRUNCAMENTOS DE SÓLIDOS

O truncamento de sólidos é um conceito fundamental na Geometria Espacial, consistindo no processo de seccionar um sólido geométrico por um ou mais planos, resultando em novas superfícies e configurações espaciais. Esse procedimento é amplamente explorado tanto no contexto acadêmico quanto em aplicações práticas, como no design, na arquitetura e na engenharia. Neste capítulo, serão abordados os princípios do truncamento de sólidos, destacando sua relevância para a visualização geométrica e para a compreensão das transformações espaciais. Por meio de atividades interativas desenvolvidas no GeoGebra, são explorados diferentes tipos de truncamentos, desde cortes simples que modificam vértices e arestas até seções mais complexas que revelam novas faces e simetrias no sólido. Além disso, serão analisadas as relações entre os elementos geométricos antes e depois do truncamento, permitindo uma melhor interpretação das propriedades das figuras resultantes. A abordagem busca proporcionar uma experiência dinâmica e intuitiva, favorecendo a construção do raciocínio espacial e possibilitando uma melhor compreensão das interseções entre planos e sólidos. Dessa forma, espera-se que o leitor desenvolva uma percepção mais apurada sobre as transformações geométricas e sua aplicação em diversos contextos matemáticos e visuais.

  • 1. 01. Luminária em forma de tetraedro truncado
  • 2. 02. Troféu em forma de cubo truncado
  • 3. 03. Brindes promocionais em forma de pirâmide
  • 4. 04. Intersecção do plano α com o cubo
  • 5. 05. Peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano
  • 6. 06. Tetraedro Regular
  • 7. 07. Hexaedro Regular
  • 8. 08. Octaedro Regular
  • 9. 09. Dodecaedro Regular
  • 10. 10. Icosaedro Regular
  • 11. 11. N-prisma
  • 12. 12. N-antiprisma
  • 13. 13. Cuboctaedro
  • 14. 14. Icosidodecaedro
  • 15. 15. Tetraedro Truncado
  • 16. 16. Cubo Truncado
  • 17. 17. Octaedro Truncado
  • 18. 18. Dodecaedro Truncado
  • 19. 19. Icosaedro Truncado
  • 20. 20. Cuboctaedro Truncado
  • 21. 21. Icosidodecaedro Truncado
  • 22. 22. Rombicuboctaedro
  • 23. 23. Rombicosidodecaedro
  • 24. 24. Cubo Snub
  • 25. 25. Dodecaedro Snub

3.1.

01. Luminária em forma de tetraedro truncado

Luminária em forma de tetraedro truncado
(ENEM) As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura.[br][img width=333,height=151]data:image/jpeg;base64,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luminária terá por faces
– Aluísio Júnior

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Información