Eine Pyramide aus einem gleichseitigen Sechseck als Grundfläche. Bestimme deren maximales Volumen unter der Bedingung den Mantel der Pyramide aus einem DIN A4 Blatt zu formen.[br][br][br][color=#cccccc][size=50]https://www.mathelounge.de/570752/maximales-volumen-einer-sechseckigen-pyramide-boden-einem[/size][/color][br]

Ein Simulationsmodell für Abwicklungen[br][br]Zur Untersuchung der verschiedenen Abwicklungsmodelle ziehe ich den Solver heran:[br]Die Abwicklung beginnt am Eckpunkt E0. Der Mittelpunkt M des Umkreises mit den weiteren Eckpunkten liegt auf einem Kreis um E0 mit Radius s. Ein Manteldreieck hat die beiden Seiten s und die Seite r. [math]\alpha = 2 \; \operatorname{sin⁻¹} \left( \frac{r}{2 \; s} \right)[/math] ist der Drehwinkel mit dem die Eckpunkte E1..E6 ermittelt werden.[br][br]Optimieren der Abwicklung im Solver V(r,h,t,d): B16 ===> max[br]r Seitenlänge Sechseck[br]h Höhe Pyramide[br]s Kantenlänge Mantelseite[br]t Ortskreis des Mittelpunkts M von E0 aus mit Radium s[br]dx legt E0 auf die kurze Seite E0=(dx,0) oder auf die lange Seite E0=(0,dx)[br]E0=(0,dx) ===> t=PI()- ARCTAN(ro / WURZEL(4*h^2 + 3*r^2))*6 ===> dx=29.7/2-WURZEL(s^2-(21-s)^2)[br][br][math]s^2=r^2+h^2 = (r/2)^2 + h_m^2[/math] (s Länge Kante, h_m Höhe Manteldreieck)[br][br]B6:[br][math]\alpha\text{=ARCTAN(r / WURZEL(4*h^2 + 3*r^2))*2}[/math][br]B7;C7:[br][math]M=\left\{ xE0+s*COS(t) ; yE0+s*SIN(t) \right\}[/math][br]B8:[br][math]E0=\left\{0,dx\right\}[/math][br]B9:B14;C9C14:[br][math]E1=\left\{xM - COS(\alpha)*(xM + xE0) + SIN(\alpha)* (yM - yE0) \;;\; yM + (yE0 - yM)*COS(\alpha) + (xE0- xM )* SIN(\alpha)\right\}[/math][br][math]E(i)=\left\{xM - COS(i\alpha)*(xM + xE0) + SIN(i\alpha)* (yM - yE0) \;;\;yM + (yE0 - yM)*COS(i\alpha) + (xE0- xM )* SIN(i\alpha) \right\}[/math][br]B16:[br][math]V\text{=r^2 *WURZEL(3)/2 * h}[/math][br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon][url=https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rurbN4QZReOY6fCzY62IGarD26QpQSptjlfGQEdv-Fk/edit?usp=sharing]Google Docs Tabelle[/url][br]Desktop-System: Frontline Systems Solver Solving Methode: (Standard LSGRG Nonlinear) [br]or import to MS Excel[br]Constrains: B9:B14>=0; C9C14>=0; B9:B14<=21; C9C14<=29.7 (FSS needs add B12=21)

Zusammenfassung:[br]Die Fixierung des Startpunktes E0 auf den Eckpunkt des DINA4 Blattes ist nicht optimal für das Volumen. Bei einer Variation (wandern des Punktes E0 auf der kurzen Seite bzw. der langen Seite) erweist sich eine Position auf der langen Seite als volumenoptimal. Das Abwicklungbild ist dann symmetrisch zum Blatt und es liegen 5 von 7 Eckpunkten auf den Blatträndern.[br][br][size=85][url=http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=587703]http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=587703[/url][/size][br][br][br][b][size=150]Berechnen der optimalen Abwicklung[/size][/b]

Ein Zeltgerüst wird aufgebaut aus 6 Stäben der Länge 4m, in Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. [br]Berechnen Sie die Zelthöhe h für die sich ein maximales Volumen ergibt.[br]h_s: Höhe eines Grundflächendreiecks[br]s_k: Länge der Seitenkante [br]r_s: Seite Grundfläche, h_p Höhe Pyramide[br][br]