Folosește configurația din aplicația de mai sus pentru a exprima înălțimea triunghiului în funcție de lungimea AB, adică c, și măsura unghiului B.[br][br]Înlocuiește în formula ariei și scrie mai jos formula pe care ai obținut-o.
[math]S=\frac{acsinB}{2}=\frac{bcsinA}{2}=\frac{absinC}{2}[/math]
În formula pe care ai dedus-o la 3., înlocuiește pe c în funcție de a, A, C (din teorema sinusurilor) pentru a obține o nouă formulă pentru arie.[br]Scrie mai jos formula pe care ai obținut-o.
[math]S=\frac{a^2sinBsinC}{2sinA}=\frac{b^2sinCsinA}{2sinB}=\frac{c^2sinAsinB}{2sinC}[/math]
Exprimă [i]sinA, sinB, sinC[/i] în funcție de [i]R[/i] și [i]a[/i], [i]b[/i], respectiv [i]c [/i](folosind Teorema sinusurilor).[br]Apoi înlocuiește, în formula pe care ai dedus-o la 4., [i]sinA, sinB, sinC[/i] cu expresiile pe care le-ai obținut (în funcție de lungimile laturilor triunghiului și raza cercului circumscris [i]R[/i]). [br][br]Scrie formula ariei triunghiului în funcție de lungimile laturilor și R.
[math]S=\frac{abc}{4R}[/math]
Folosind teorema cosinusului și formulele trigonometrice [math]1+cosA=2cos^2\frac{A}{2}[/math], respectiv, [math]1-cosA=2sin^2\frac{A}{2}[/math], dedu formulele pentru [math]sin\frac{A}{2}[/math]și [math]cos\frac{A}{2}[/math]în funcție de semiperimetrul triunghiului și lungimile laturilor. [b]Scrie mai jos formulele pe care le-ai obținut.[/b][br]Folosește-te de faptul că [math]sinA=2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}[/math] pentru a determina [i]sinA[/i] în funcție de semiperimetrul triunghiului și lungimile laturilor. [b]Scrie mai jos rezultatul pe care l-ai obținut[/b].[br][br]Apoi, înlocuiește [i]sinA [/i]astfel obținut în formula ariei pe care ai dedus-o la 3. Vei obține o nouă formulă pentru aria triunghiului. [br][br][b]Scrie formula pe care ai obținut-o[/b].
[math]sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-c\right)}{bc}}[/math][br][math]cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p\left(p-a\right)}{bc}}[/math][br][math]sinA=\frac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{bc}[/math][br][math]S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}[/math]
Se consideră triunghiul ABC care are vârfurile de coordonate [math]A\left(x_A,y_A\right)[/math], [math]B\left(x_B,y_B\right)[/math] și [math]C\left(x_C,y_C\right)[/math].[br]Scrie etapele pe care trebuie să le parcurgi pentru a determina aria triunghilui ABC folosind cunoștințe de geometrie analitică.
1. Se scrie ecuația dreptei BC.[br]2. Se calculează distanța de la punctul A la dreapta BC folosind formula distanței de la punct la dreaptă. În felul acesta determinăm înălțimea triunghiului ABC.[br]3. Se calculează lungimea segmentului (BC) folosind formula distanței dintre două puncte. În felul acesta determinăm lungimea bazei.[br]4. Folosim formula ariei triunghiului [math]S=\frac{BC\cdot h_A}{2}=\frac{BC\cdot dist\left(A,BC\right)}{2}[/math][br]