In der "Geogebra Datei" sehen Sie den Graphen der Gewinnfunktion. Links sind ganz viele "Befehle" eingefügt wurden, die Sie zu Beginn ignorieren können. [br]Mit Hilfe dieser Geogebra Datei sollen folgende Fragen beantwortet werden:[br][br][b][u]1.) Was gibt mir die Ableitungsfunktion an?[br]2.) Wie bestimme ich die Ableitungsfunktion?[br]3.) Wie hoch ist der maximale Gewinn?[br][br][/u][/b]Im Verlauf dieser Datei werden Sie Schritt für Schritt Anweisungen bekommen, die Sie durchführen. Außerdem befindet sich in dieser Datei Verständnisfragen, die Sie beantworten sollen.
[b][center]1.) Was gibt mir die Ableitungsfunktion an?[/center][/b][br]Um diese Frage zu beantworten, müssen in der obigen Anwendung einige Befehle durchgeführt werden. Befolgen Sie folgende Schritte:[br]Aktivieren Sie folgende Elemente, indem sie auf den linken Kreis neben dem jeweiligen Element klicken.[br][list][*]4tes Element: a=....[/*][*]5tes Element: A=(a,G(a))[/*][/list]Probe, um zu überprüfen, ob alles richtig läuft: [br]Im vierten Element "a=..." befindet sich rechts eine "Start" Button. Klicken Sie drauf. Wenn bis hier hin alles richtig gemacht wurde, dann müsste sich der Punkt A auf dem Graphen bewegen. [br][br]Sie können nun wieder auf den Start Button drücken, um die Animation zu pausieren.[br][br]Aktivieren Sie nun folgendes Element:[br][list][*]7tes Element: "g(x)=Wenn...."[/*][/list][br]Nun müsste sich im Schaubild eine "kleine blaue Gerade" befinden. [br][br][u]Die Bedeutung der blauen Gerade: [br][br][/u]Versuchen Sie selber auf die Bedeutung der "kleinen blauen Gerade" zu kommen, indem Sie die Animation wieder starten ("Start" Button im 4ten Element wieder drücken).
[justify]Tipp: Stellen Sie sich vor, der Graph wäre eine Achterbahnfahrt und die kleine blaue Gerade wäre der Waggon. [br][b]Beschreiben [/b]Sie nun die Achterbahnfahrt. [/justify]
Der Waggon der Achterbahnfahrt würde steigen bis er die maximale Höhe erreicht hat (ca. x=4,2). Danach würde der Waggon sinken bzw. nach unten fahren.
[b]Erklären [/b]Sie nun, was die kleine blaue Gerade angibt bzw. was die kleine blaue Gerade über die Gewinnfunktion aussagt. ([b]Verwenden [/b]Sie in Ihrer Antwort die Begriffe "steigen" und "sinken").[br]
Die kleine blaue Gerade gibt an, wie der Gewinn sich in dem Punkt verhält.[br]Wenn die kleine blaue Gerade steigt, dann steigt der Gewinn an diesem Punkt. [br]Wenn die kleine blaue Gerade sinkt, dann sinkt der Gewinn an diesem Punkt.[br](Vergleiche die Punkte P und Q).
[b][u][center]2.) Wie bestimme ich die Ableitungsfunktion?[br][/center][/u][/b][br]Nun müssen weitere Elemente aktiviert werden. Bis hierhin sollte das 1te, das 4te, das 5te und das 7te Element aktiviert sein. Aktivieren Sie nun folgendes Element: [br][list][*]das 9te Element: "b=Steigung(f)"[/*][/list]Das 9te Element gibt die Steigung der blauen Gerade UND die Steigung im Punkt A an. Im Schaubild müssten Sie nun eine Zahl an der blauen Gerade sehen. Diese passt sich an, wenn der Punkt A auf der Graphen bewegt wird.[br]
[b]Notieren [/b]Sie die Steigung der Gerade an folgenden Stellen:[br]x=0; x=1; x=2; x=3; x=4; x=5; x=6[br](Vorgehensweise: Sie können den Schieberegler im Schaubild manuell mit dem Finger an den gewünschte Wert verschieben.)
Steigung:[br]5,17 / 13 / 16 / 13 / 4 / -12,8 / -32
Aktivieren Sie nun folgendes Elemente: [list][*]das 10te Element: "B=(a,b)"[/*][*]das 11te Element: "Text1=...."[/*][/list][br]Im Schaubild erscheint jetzt der Punkt B und die Koordinaten des Punktes B.[br]Nun wird es etwas komplizierter. Nehmen Sie sich für diesen Schritt ruhig Zeit. Betrachten Sie das Schaubild solang Sie brauchen, bis es "Klick" macht. [br]Der Punkt B, welcher nun im Schaubild erscheint, hat folgende Eigenschaft:[br][br][i]1. Der x-Wert des Punktes B entspricht genau dem x- Wert vom Punkt A.[br]2. Der y-Wert von Punkt B entspricht der Steigung von der kleinen blauen Gerade.[/i][br][br]Überprüfen Sie dies, indem Sie immer wieder auf den "Start" Button drücken und anschließend stoppen.[br](Zur Erinnerung: Der "Start"- Button befindet sich in Element 4). Achten Sie auf die Werte im Schaubild.
[u]Die Ableitungsfunktion (Graphisch)[br][/u]Wenn Sie nun auf den "Start" Button klicken, dann wird sich der Punkt B im Schaubild bewegen.[br]Der Punkt B bewegt sich nach einer gewissen "Vorschrift". Um diese Vorschrift zu sehen, aktivieren Sie folgendes Element:[br][br][list][*]das 8te Element: "G'(x)=..."[/*][/list]
Aktivieren Sie nun die Animation. [b]Beschreiben [/b]Sie, was Ihnen aufällt.
Der Punkt B bewegt sich auf dem grünen Graphen. [br]
[b]Was gibt die Ableitungsfunktion an?[/b] [b]Beschreiben [/b]Sie in eigenen Worten, was die "Ableitungsfunktion der Gewinnfunktion" über die Gewinnfunktion aussagt. [br](Vereinfacht: Was sagt die grüne Funktion über die schwarze Funktion aus?)
Vereinfacht:[br][br]Die y-Werte des grünen Graphen gibt die Steigung des schwarzen Graphen am jeweiligen Punkt an.[br][br]Präziser (aber komplexer) ausgedrückt:[br][br][list][*]Die y- Werte der Ableitungsfunktion der Gewinnfunkton (grüner Graph) gibt die Steigung der Gewinnfunktion an (schwarzer Graph). [/*][*]Wenn die y- Werte bei der Ableitungsfunktion positiv sind (grüner Graph), dann wird die Gewinnfunktion (schwarzer Graph) steigen und man wird den Gewinn erhöhen.[/*][*]Wenn die y- Werte bei der Ableitungsfunktion negativ sind (grüner Graph), dann wird die Gewinnfunktion (schwarzer Graph) sinken und man wird den Gewinn reduzieren.[/*][/list]
[i]In dieser Geogebra Datei wurde Ihnen gezeigt, wie die Ableitungsfunktion graphisch zustande kommt. Auf dem Arbeitsblatt soll Ihnen gezeigt werden, wie die Ableitungsfunktion rechnerisch ermittelt wird.[/i]
[u][b][center]3.) Wie hoch ist der maximale Gewinn?[br][/center][/b][br][/u]Im Arbeitsblatt gab es einen Arbeitsauftrag und zwar lautete die Frage:[br]"d.)Bestimmen Sie die Produktionsmenge mit dem maximaler Gewinn erzielt wird und bestimmen[br]Sie zusätzlich den maximalen Gewinn"[br][br]Nun wollen wir diese Frage lösen. [br]Schieben Sie nun den Punkt A auf den maximalen Gewinn, indem Sie den "Start" Button starten und wieder stoppen. Oder einfacher: Verschieben Sie am Schieberegler bis der der Punkt A am maximalen Gewinn liegt.
Wenn nun der Punkt A auf dem maximalen Gewinn (schwarzer Graph) liegt, dann achten Sie auf den Punkt B (der auf der Ableitungsfunktion liegt(grüner Graph)). [br]Welche Eigenschaft hat der Punkt B nun. [b]Erklären [/b]Sie kurz.
Der Punkt B wird beim grünen Graphen zu einer Nullstelle.
[br]Erläutern Sie nun in eigenen Worten, wie man den maximalen Gewinn exakt bestimmen könnte.
Um den maximalen Gewinn zu ermitteln (Hochpunkt der Gewinnfunktion), bestimmt man die Nullstelle der Ableitungsfunktion.